Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = 3 (y + 2 x) + 1$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

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Paso 1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d y}{d x} = 3 y + 3 (2 x) + 1$

Paso 1.2

Resta $3 y$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} - 3 y = 3 (2 x) + 1$

Paso 1.3

Reordena los términos.

$\frac{d y}{d x} - 3 y = 2 \cdot 3 x + 1$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = - 3$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int - 3 d x}$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$e^{- 3 x + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{- 3 x}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{- 3 x}$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $e^{- 3 x}$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 3 x} (- 3 y) = e^{- 3 x} (2 \cdot 3 x) + e^{- 3 x} \cdot 1$

Paso 3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = e^{- 3 x} (2 \cdot 3 x) + e^{- 3 x} \cdot 1$

Paso 3.3

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = 2 \cdot 3 e^{- 3 x} x + e^{- 3 x} \cdot 1$

Paso 3.3.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = 6 e^{- 3 x} x + e^{- 3 x} \cdot 1$

Paso 3.3.3

Multiplica $e^{- 3 x}$ por $1$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = 6 e^{- 3 x} x + e^{- 3 x}$

Paso 3.4

Reordena los factores en $e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = 6 e^{- 3 x} x + e^{- 3 x}$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 y e^{- 3 x} = 6 x e^{- 3 x} + e^{- 3 x}$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{- 3 x} y] = 6 x e^{- 3 x} + e^{- 3 x}$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 3 x} y] d x = \int 6 x e^{- 3 x} + e^{- 3 x} d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$e^{- 3 x} y = \int 6 x e^{- 3 x} + e^{- 3 x} d x$

Paso 7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.1

Divide la única integral en varias integrales.

$e^{- 3 x} y = \int 6 x e^{- 3 x} d x + \int e^{- 3 x} d x$

Paso 7.2

Dado que $6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$e^{- 3 x} y = 6 \int x e^{- 3 x} d x + \int e^{- 3 x} d x$

Paso 7.3

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{- 3 x}$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (x (- \frac{1}{3} e^{- 3 x}) - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 x} d x) + \int e^{- 3 x} d x$

Paso 7.4

Simplifica.

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Paso 7.4.1

Combina $e^{- 3 x}$ y $\frac{1}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (x (- \frac{e^{- 3 x}}{3}) - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 x} d x) + \int e^{- 3 x} d x$

Paso 7.4.2

Combina $x$ y $\frac{e^{- 3 x}}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \int - \frac{1}{3} e^{- 3 x} d x) + \int e^{- 3 x} d x$

Paso 7.4.3

Combina $e^{- 3 x}$ y $\frac{1}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \int - \frac{e^{- 3 x}}{3} d x) + \int e^{- 3 x} d x$

Paso 7.5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - - \int \frac{e^{- 3 x}}{3} d x) + \int e^{- 3 x} d x$

Paso 7.6

Simplifica.

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Paso 7.6.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + 1 \int \frac{e^{- 3 x}}{3} d x) + \int e^{- 3 x} d x$

Paso 7.6.2

Multiplica $\int \frac{e^{- 3 x}}{3} d x$ por $1$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \int \frac{e^{- 3 x}}{3} d x) + \int e^{- 3 x} d x$

Paso 7.7

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} \int e^{- 3 x} d x) + \int e^{- 3 x} d x$

Paso 7.8

Sea $u_{1} = - 3 x$ . Entonces $d u_{1} = - 3 d x$ , de modo que $- \frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 7.8.1

Deja $u_{1} = - 3 x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 7.8.1.1

Diferencia $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$

Paso 7.8.1.2

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7.8.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

Paso 7.8.1.4

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$- 3$

Paso 7.8.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} \int e^{u_{1}} \frac{1}{- 3} d u_{1}) + \int e^{- 3 x} d x$

Paso 7.9

Simplifica.

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Paso 7.9.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} \int e^{u_{1}} (- \frac{1}{3}) d u_{1}) + \int e^{- 3 x} d x$

Paso 7.9.2

Combina $e^{u_{1}}$ y $\frac{1}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} \int - \frac{e^{u_{1}}}{3} d u_{1}) + \int e^{- 3 x} d x$

Paso 7.10

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} (- \int \frac{e^{u_{1}}}{3} d u_{1})) + \int e^{- 3 x} d x$

Paso 7.11

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} + \frac{1}{3} (- (\frac{1}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1}))) + \int e^{- 3 x} d x$

Paso 7.12

Simplifica.

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Paso 7.12.1

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int e^{- 3 x} d x$

Paso 7.12.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int e^{- 3 x} d x$

Paso 7.13

La integral de $e^{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $e^{u_{1}}$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + \int e^{- 3 x} d x$

Paso 7.14

Sea $u_{2} = - 3 x$ . Entonces $d u_{2} = - 3 d x$ , de modo que $- \frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 7.14.1

Deja $u_{2} = - 3 x$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 7.14.1.1

Diferencia $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$

Paso 7.14.1.2

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 7.14.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

Paso 7.14.1.4

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$- 3$

Paso 7.14.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 3} d u_{2}$

Paso 7.15

Simplifica.

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Paso 7.15.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{3}) d u_{2}$

Paso 7.15.2

Combina $e^{u_{2}}$ y $\frac{1}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) + \int - \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2}$

Paso 7.16

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) - \int \frac{e^{u_{2}}}{3} d u_{2}$

Paso 7.17

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) - (\frac{1}{3} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Paso 7.18

La integral de $e^{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $e^{u_{2}}$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} (e^{u_{1}} + C)) - \frac{1}{3} (e^{u_{2}} + C)$

Paso 7.19

Simplifica.

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Paso 7.19.1

Simplifica.

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{1}{3} x e^{- 3 x} - \frac{1}{9} e^{u_{1}}) - \frac{1}{3} e^{u_{2}} + C$

Paso 7.19.2

Simplifica.

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Paso 7.19.2.1

Combina $x$ y $\frac{1}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x}{3} e^{- 3 x} - \frac{1}{9} e^{u_{1}}) - \frac{1}{3} e^{u_{2}} + C$

Paso 7.19.2.2

Combina $e^{- 3 x}$ y $\frac{x}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{1}{9} e^{u_{1}}) - \frac{1}{3} e^{u_{2}} + C$

Paso 7.19.2.3

Combina $e^{u_{1}}$ y $\frac{1}{9}$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{u_{1}}}{9}) - \frac{1}{3} e^{u_{2}} + C$

Paso 7.20

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 7.20.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $- 3 x$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{- 3 x}}{9}) - \frac{1}{3} e^{u_{2}} + C$

Paso 7.20.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $- 3 x$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{- 3 x}}{9}) - \frac{1}{3} e^{- 3 x} + C$

Paso 7.21

Combina $e^{- 3 x}$ y $\frac{1}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{e^{- 3 x} x}{3} - \frac{e^{- 3 x}}{9}) - \frac{e^{- 3 x}}{3} + C$

Paso 7.22

Reordena los términos.

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{1}{3} e^{- 3 x} x - \frac{1}{9} e^{- 3 x}) - \frac{1}{3} e^{- 3 x} + C$

Paso 8

Resuelve $y$

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Paso 8.1

Simplifica.

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Paso 8.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.1.1.1

Multiplica $- \frac{1}{3} (e^{- 3 x} x)$ .

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Paso 8.1.1.1.1

Combina $e^{- 3 x}$ y $\frac{1}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{e^{- 3 x}}{3} x - \frac{1}{9} \cdot e^{- 3 x}) - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Paso 8.1.1.1.2

Combina $x$ y $\frac{e^{- 3 x}}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{9} \cdot e^{- 3 x}) - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Paso 8.1.1.2

Combina $e^{- 3 x}$ y $\frac{1}{9}$ .

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3} - \frac{e^{- 3 x}}{9}) - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Paso 8.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{- 3 x} y = 6 (- \frac{x e^{- 3 x}}{3}) + 6 (- \frac{e^{- 3 x}}{9}) - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Paso 8.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 8.1.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x e^{- 3 x}}{3}$ al numerador.

$e^{- 3 x} y = 6 \frac{- x e^{- 3 x}}{3} + 6 (- \frac{e^{- 3 x}}{9}) - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Paso 8.1.3.2

Factoriza $3$ de $6$ .

$e^{- 3 x} y = 3 (2) \frac{- x e^{- 3 x}}{3} + 6 (- \frac{e^{- 3 x}}{9}) - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Paso 8.1.3.3

Cancela el factor común.

$e^{- 3 x} y = 3 \cdot 2 \frac{- x e^{- 3 x}}{3} + 6 (- \frac{e^{- 3 x}}{9}) - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Paso 8.1.3.4

Reescribe la expresión.

$e^{- 3 x} y = 2 (- x e^{- 3 x}) + 6 (- \frac{e^{- 3 x}}{9}) - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Paso 8.1.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$e^{- 3 x} y = - 2 (x e^{- 3 x}) + 6 (- \frac{e^{- 3 x}}{9}) - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Paso 8.1.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 8.1.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{e^{- 3 x}}{9}$ al numerador.

$e^{- 3 x} y = - 2 (x e^{- 3 x}) + 6 \frac{- e^{- 3 x}}{9} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Paso 8.1.5.2

Factoriza $3$ de $6$ .

$e^{- 3 x} y = - 2 (x e^{- 3 x}) + 3 (2) \frac{- e^{- 3 x}}{9} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Paso 8.1.5.3

Factoriza $3$ de $9$ .

$e^{- 3 x} y = - 2 (x e^{- 3 x}) + 3 \cdot 2 \frac{- e^{- 3 x}}{3 \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Paso 8.1.5.4

Cancela el factor común.

$e^{- 3 x} y = - 2 (x e^{- 3 x}) + 3 \cdot 2 \frac{- e^{- 3 x}}{3 \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Paso 8.1.5.5

Reescribe la expresión.

$e^{- 3 x} y = - 2 (x e^{- 3 x}) + 2 \frac{- e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Paso 8.1.6

Combina $2$ y $\frac{- e^{- 3 x}}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = - 2 (x e^{- 3 x}) + \frac{2 (- e^{- 3 x})}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Paso 8.1.7

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$e^{- 3 x} y = - 2 (x e^{- 3 x}) + \frac{- 2 e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Paso 8.1.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e^{- 3 x} y = - 2 x e^{- 3 x} - \frac{2 e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Paso 8.1.9

Para escribir $- 2 x e^{- 3 x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = - 2 x e^{- 3 x} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Paso 8.1.10

Combina $- 2 x e^{- 3 x}$ y $\frac{3}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = \frac{- 2 x e^{- 3 x} \cdot 3}{3} - \frac{2 e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Paso 8.1.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e^{- 3 x} y = \frac{- 2 x e^{- 3 x} \cdot 3 - 2 e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Paso 8.1.12

Simplifica el numerador.

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Paso 8.1.12.1

Factoriza $2 e^{- 3 x}$ de $- 2 x e^{- 3 x} \cdot 3 - 2 e^{- 3 x}$ .

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Paso 8.1.12.1.1

Factoriza $2 e^{- 3 x}$ de $- 2 x e^{- 3 x} \cdot 3$ .

$e^{- 3 x} y = \frac{2 e^{- 3 x} (- x \cdot 3) - 2 e^{- 3 x}}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Paso 8.1.12.1.2

Factoriza $2 e^{- 3 x}$ de $- 2 e^{- 3 x}$ .

$e^{- 3 x} y = \frac{2 e^{- 3 x} (- x \cdot 3) + 2 e^{- 3 x} (- 1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Paso 8.1.12.1.3

Factoriza $2 e^{- 3 x}$ de $2 e^{- 3 x} (- x \cdot 3) + 2 e^{- 3 x} (- 1)$ .

$e^{- 3 x} y = \frac{2 e^{- 3 x} (- x \cdot 3 - 1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Paso 8.1.12.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$e^{- 3 x} y = \frac{2 e^{- 3 x} (- 3 x - 1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Paso 8.1.13

Factoriza $- 1$ de $- 3 x$ .

$e^{- 3 x} y = \frac{2 e^{- 3 x} (- (3 x) - 1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Paso 8.1.14

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$e^{- 3 x} y = \frac{2 e^{- 3 x} (- (3 x) - 1 (1))}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Paso 8.1.15

Factoriza $- 1$ de $- (3 x) - 1 (1)$ .

$e^{- 3 x} y = \frac{2 e^{- 3 x} (- (3 x + 1))}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Paso 8.1.16

Reescribe $- (3 x + 1)$ como $- 1 (3 x + 1)$ .

$e^{- 3 x} y = \frac{2 e^{- 3 x} (- 1 (3 x + 1))}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Paso 8.1.17

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$e^{- 3 x} y = - \frac{(2 e^{- 3 x}) (3 x + 1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Paso 8.1.18

Reordena los factores en $- \frac{(2 e^{- 3 x}) (3 x + 1)}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = - \frac{2 e^{- 3 x} (3 x + 1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot e^{- 3 x} + C$

Paso 8.1.19

Combina $e^{- 3 x}$ y $\frac{1}{3}$ .

$e^{- 3 x} y = - \frac{2 e^{- 3 x} (3 x + 1)}{3} - \frac{e^{- 3 x}}{3} + C$

Paso 8.2

Divide cada término en $e^{- 3 x} y = - \frac{2 e^{- 3 x} (3 x + 1)}{3} - \frac{e^{- 3 x}}{3} + C$ por $e^{- 3 x}$ y simplifica.

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Paso 8.2.1

Divide cada término en $e^{- 3 x} y = - \frac{2 e^{- 3 x} (3 x + 1)}{3} - \frac{e^{- 3 x}}{3} + C$ por $e^{- 3 x}$ .

$\frac{e^{- 3 x} y}{e^{- 3 x}} = \frac{- \frac{2 e^{- 3 x} (3 x + 1)}{3}}{e^{- 3 x}} + \frac{- \frac{e^{- 3 x}}{3}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Paso 8.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.2.1

Cancela el factor común de $e^{- 3 x}$ .

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Paso 8.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{- 3 x} y}{e^{- 3 x}} = \frac{- \frac{2 e^{- 3 x} (3 x + 1)}{3}}{e^{- 3 x}} + \frac{- \frac{e^{- 3 x}}{3}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Paso 8.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- \frac{2 e^{- 3 x} (3 x + 1)}{3}}{e^{- 3 x}} + \frac{- \frac{e^{- 3 x}}{3}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Paso 8.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.2.3.1

Combina fracciones.

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Paso 8.2.3.1.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{- \frac{2 e^{- 3 x} (3 x + 1)}{3} - \frac{e^{- 3 x}}{3} + C}{e^{- 3 x}}$

Paso 8.2.3.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{C + \frac{- 2 e^{- 3 x} (3 x + 1) - e^{- 3 x}}{3}}{e^{- 3 x}}$

Paso 8.2.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{C + \frac{- 2 e^{- 3 x} (3 x) - 2 e^{- 3 x} \cdot 1 - e^{- 3 x}}{3}}{e^{- 3 x}}$

Paso 8.2.3.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y = \frac{C + \frac{- 2 \cdot 3 e^{- 3 x} x - 2 e^{- 3 x} \cdot 1 - e^{- 3 x}}{3}}{e^{- 3 x}}$

Paso 8.2.3.2.3

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$y = \frac{C + \frac{- 2 \cdot 3 e^{- 3 x} x - 2 e^{- 3 x} - e^{- 3 x}}{3}}{e^{- 3 x}}$

Paso 8.2.3.2.4

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$y = \frac{C + \frac{- 6 e^{- 3 x} x - 2 e^{- 3 x} - e^{- 3 x}}{3}}{e^{- 3 x}}$

Paso 8.2.3.3

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 8.2.3.3.1

Resta $e^{- 3 x}$ de $- 2 e^{- 3 x}$ .

$y = \frac{C + \frac{- 6 e^{- 3 x} x - 3 e^{- 3 x}}{3}}{e^{- 3 x}}$

Paso 8.2.3.3.2

Reordena los factores en $- 6 e^{- 3 x} x - 3 e^{- 3 x}$ .

$y = \frac{C + \frac{- 6 x e^{- 3 x} - 3 e^{- 3 x}}{3}}{e^{- 3 x}}$

Paso 8.2.3.4

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.3.4.1

Factoriza $3 e^{- 3 x}$ de $- 6 x e^{- 3 x} - 3 e^{- 3 x}$ .

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Paso 8.2.3.4.1.1

Factoriza $3 e^{- 3 x}$ de $- 6 x e^{- 3 x}$ .

$y = \frac{C + \frac{3 e^{- 3 x} (- 2 x) - 3 e^{- 3 x}}{3}}{e^{- 3 x}}$

Paso 8.2.3.4.1.2

Factoriza $3 e^{- 3 x}$ de $- 3 e^{- 3 x}$ .

$y = \frac{C + \frac{3 e^{- 3 x} (- 2 x) + 3 e^{- 3 x} (- 1)}{3}}{e^{- 3 x}}$

Paso 8.2.3.4.1.3

Factoriza $3 e^{- 3 x}$ de $3 e^{- 3 x} (- 2 x) + 3 e^{- 3 x} (- 1)$ .

$y = \frac{C + \frac{3 e^{- 3 x} (- 2 x - 1)}{3}}{e^{- 3 x}}$

Paso 8.2.3.4.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 8.2.3.4.2.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{C + \frac{3 e^{- 3 x} (- 2 x - 1)}{3}}{e^{- 3 x}}$

Paso 8.2.3.4.2.2

Divide $e^{- 3 x} (- 2 x - 1)$ por $1$ .

$y = \frac{C + e^{- 3 x} (- 2 x - 1)}{e^{- 3 x}}$

Paso 8.2.3.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{C + e^{- 3 x} (- 2 x) + e^{- 3 x} \cdot - 1}{e^{- 3 x}}$

Paso 8.2.3.4.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y = \frac{C - 2 e^{- 3 x} x + e^{- 3 x} \cdot - 1}{e^{- 3 x}}$

Paso 8.2.3.4.5

Mueve $- 1$ a la izquierda de $e^{- 3 x}$ .

$y = \frac{C - 2 e^{- 3 x} x - 1 \cdot e^{- 3 x}}{e^{- 3 x}}$

Paso 8.2.3.4.6

Reescribe $- 1 e^{- 3 x}$ como $- e^{- 3 x}$ .

$y = \frac{C - 2 e^{- 3 x} x - e^{- 3 x}}{e^{- 3 x}}$

Paso 8.2.3.5

Reordena los factores en $C - 2 e^{- 3 x} x - e^{- 3 x}$ .

$y = \frac{C - 2 x e^{- 3 x} - e^{- 3 x}}{e^{- 3 x}}$