Cálculo Ejemplos

$(1 + y) d x + (1 - x^{2}) d y = 0$

Paso 1

Resta $(1 + y) d x$ de ambos lados de la ecuación.

$(1 - x^{2}) d y = - (1 + y) d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{(1 - x^{2}) (1 + y)}$ .

$\frac{1}{(1 - x^{2}) (1 + y)} (1 - x^{2}) d y = \frac{1}{(1 - x^{2}) (1 + y)} (- (1 + y)) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $1 - x^{2}$ .

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Paso 3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{(1 - x^{2}) (1 + y)} (1 - x^{2}) d y = \frac{1}{(1 - x^{2}) (1 + y)} (- (1 + y)) d x$

Paso 3.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{1}{(1 - x^{2}) (1 + y)} (- (1 + y)) d x$

Paso 3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{1 + y} d y = - \frac{1}{(1 - x^{2}) (1 + y)} (1 + y) d x$

Paso 3.3

Cancela el factor común de $1 + y$ .

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Paso 3.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{(1 - x^{2}) (1 + y)}$ al numerador.

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{- 1}{(1 - x^{2}) (1 + y)} (1 + y) d x$

Paso 3.3.2

Factoriza $1 + y$ de $(1 - x^{2}) (1 + y)$ .

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{- 1}{(1 + y) (1 - x^{2})} (1 + y) d x$

Paso 3.3.3

Cancela el factor común.

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{- 1}{(1 + y) (1 - x^{2})} (1 + y) d x$

Paso 3.3.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{- 1}{1 - x^{2}} d x$

Paso 3.4

Simplifica el denominador.

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Paso 3.4.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{- 1}{1^{2} - x^{2}} d x$

Paso 3.4.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = x$ .

$\frac{1}{1 + y} d y = \frac{- 1}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Paso 3.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{1 + y} d y = - \frac{1}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{1 + y} d y = \int - \frac{1}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Paso 4.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Sea $u_{1} = 1 + y$ . Entonces $d u_{1} = d y$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 4.2.1.1

Deja $u_{1} = 1 + y$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Paso 4.2.1.1.1

Diferencia $1 + y$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y]$

Paso 4.2.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$

Paso 4.2.1.1.3

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Paso 4.2.1.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 1$

Paso 4.2.1.1.5

Suma $0$ y $1$ .

$1$

Paso 4.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Paso 4.2.2

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Paso 4.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $1 + y$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Paso 4.3.2

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 4.3.2.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 4.3.2.1.1

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{1 + x}$

Paso 4.3.2.1.2

$\frac{A}{1 + x} + \frac{B}{1 - x}$

Paso 4.3.2.1.3

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $(1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{1 (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Paso 4.3.2.1.4

Cancela el factor común de $1 + x$ .

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Paso 4.3.2.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Paso 4.3.2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 (1 - x)}{1 - x} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Paso 4.3.2.1.5

Cancela el factor común de $1 - x$ .

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Paso 4.3.2.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (1 - x)}{1 - x} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Paso 4.3.2.1.5.2

Reescribe la expresión.

$1 = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Paso 4.3.2.1.6

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.2.1.6.1

Cancela el factor común de $1 + x$ .

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Paso 4.3.2.1.6.1.1

Cancela el factor común.

$1 = \frac{A (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Paso 4.3.2.1.6.1.2

Divide $(A) (1 - x)$ por $1$ .

$1 = (A) (1 - x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Paso 4.3.2.1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A \cdot 1 + A (- x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Paso 4.3.2.1.6.3

Multiplica $A$ por $1$ .

$1 = A + A (- x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Paso 4.3.2.1.6.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$1 = A - A x + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Paso 4.3.2.1.6.5

Cancela el factor común de $1 - x$ .

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Paso 4.3.2.1.6.5.1

Cancela el factor común.

$1 = A - A x + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Paso 4.3.2.1.6.5.2

Divide $(B) (1 + x)$ por $1$ .

$1 = A - A x + (B) (1 + x)$

Paso 4.3.2.1.6.6

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A - A x + B \cdot 1 + B x$

Paso 4.3.2.1.6.7

Multiplica $B$ por $1$ .

$1 = A - A x + B + B x$

Paso 4.3.2.1.7

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.2.1.7.1

Mueve $A$ .

$1 = A - x A + B + B x$

Paso 4.3.2.1.7.2

Reordena $B$ y $x$ .

$1 = A - x A + B + B x$

Paso 4.3.2.1.7.3

Mueve $B$ .

$1 = A - x A + B x + B$

Paso 4.3.2.1.7.4

Mueve $A$ .

$1 = - x A + B x + A + B$

Paso 4.3.2.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 4.3.2.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = - 1 A + B$

Paso 4.3.2.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = A + B$

Paso 4.3.2.2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = - 1 A + B$

$1 = A + B$

$0 = - 1 A + B$

$1 = A + B$

Paso 4.3.2.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 4.3.2.3.1

Resuelve $A$ en $1 = A + B$ .

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Paso 4.3.2.3.1.1

Reescribe la ecuación como $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$0 = - 1 A + B$

Paso 4.3.2.3.1.2

Resta $B$ de ambos lados de la ecuación.

$A = 1 - B$

$0 = - 1 A + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 A + B$

Paso 4.3.2.3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $1 - B$ en cada ecuación.

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Paso 4.3.2.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $0 = - 1 A + B$ por $1 - B$ .

$0 = - 1 (1 - B) + B$

$A = 1 - B$

Paso 4.3.2.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.2.3.2.2.1

Simplifica $- 1 (1 - B) + B$ .

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Paso 4.3.2.3.2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.2.3.2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$0 = - 1 \cdot 1 - 1 (- B) + B$

$A = 1 - B$

Paso 4.3.2.3.2.2.1.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$0 = - 1 - 1 (- B) + B$

$A = 1 - B$

Paso 4.3.2.3.2.2.1.1.3

Multiplica $- 1 (- B)$ .

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Paso 4.3.2.3.2.2.1.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$0 = - 1 + 1 B + B$

$A = 1 - B$

Paso 4.3.2.3.2.2.1.1.3.2

Multiplica $B$ por $1$ .

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

Paso 4.3.2.3.2.2.1.2

Suma $B$ y $B$ .

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

Paso 4.3.2.3.3

Resuelve $B$ en $0 = - 1 + 2 B$ .

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Paso 4.3.2.3.3.1

Reescribe la ecuación como $- 1 + 2 B = 0$ .

$- 1 + 2 B = 0$

$A = 1 - B$

Paso 4.3.2.3.3.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 B = 1$

$A = 1 - B$

Paso 4.3.2.3.3.3

Divide cada término en $2 B = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 4.3.2.3.3.3.1

Divide cada término en $2 B = 1$ por $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Paso 4.3.2.3.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.2.3.3.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.3.2.3.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Paso 4.3.2.3.3.3.2.1.2

Divide $B$ por $1$ .

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Paso 4.3.2.3.4

Reemplaza todos los casos de $B$ por $\frac{1}{2}$ en cada ecuación.

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Paso 4.3.2.3.4.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $A = 1 - B$ por $\frac{1}{2}$ .

$A = 1 - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

Paso 4.3.2.3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.2.3.4.2.1

Simplifica $1 - (\frac{1}{2})$ .

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Paso 4.3.2.3.4.2.1.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$A = \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Paso 4.3.2.3.4.2.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$A = \frac{2 - 1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Paso 4.3.2.3.4.2.1.3

Resta $1$ de $2$ .

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Paso 4.3.2.3.5

Enumera todas las soluciones.

$A = \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

Paso 4.3.2.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{1 + x} + \frac{B}{1 - x}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{1 + x} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

Paso 4.3.2.5

Simplifica.

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Paso 4.3.2.5.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + x} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

Paso 4.3.2.5.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{1 + x}$ .

$\frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

Paso 4.3.2.5.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - x}$

Paso 4.3.2.5.4

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{1 - x}$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{1}{2 (1 - x)} d x$

Paso 4.3.3

Divide la única integral en varias integrales.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\int \frac{1}{2 (1 + x)} d x + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Paso 4.3.4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + x} d x + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Paso 4.3.5

Sea $u_{2} = 1 + x$ . Entonces $d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 4.3.5.1

Deja $u_{2} = 1 + x$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 4.3.5.1.1

Diferencia $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Paso 4.3.5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.3.5.1.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.3.5.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 1$

Paso 4.3.5.1.5

Suma $0$ y $1$ .

$1$

Paso 4.3.5.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Paso 4.3.6

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Paso 4.3.7

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 - x} d x)$

Paso 4.3.8

Sea $u_{3} = 1 - x$ . Entonces $d u_{3} = - d x$ , de modo que $- d u_{3} = d x$ . Reescribe mediante $u_{3}$ y $d$ $u_{3}$ .

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Paso 4.3.8.1

Deja $u_{3} = 1 - x$ . Obtén $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

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Paso 4.3.8.1.1

Reescribe.

$\frac{- 1}{1}$

Paso 4.3.8.1.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 4.3.8.2

Reescribe el problema mediante $u_{3}$ y $d u_{3}$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} \int \frac{- 1}{u_{3}} d u_{3})$

Paso 4.3.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} \int - \frac{1}{u_{3}} d u_{3})$

Paso 4.3.10

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{3}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} (- \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3}))$

Paso 4.3.11

La integral de $\frac{1}{u_{3}}$ con respecto a $u_{3}$ es $\ln (| u_{3} |)$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} (- (\ln (| u_{3} |) + C_{3})))$

Paso 4.3.12

Simplifica.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\frac{\ln (| u_{2} |)}{2} - \frac{\ln (| u_{3} |)}{2}) + C_{4}$

Paso 4.3.13

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 4.3.13.1

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $1 + x$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\frac{\ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{\ln (| u_{3} |)}{2}) + C_{4}$

Paso 4.3.13.2

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $1 - x$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - (\frac{\ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{\ln (| 1 - x |)}{2}) + C_{4}$

Paso 4.3.14

Simplifica.

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Paso 4.3.14.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - \frac{\ln (| 1 + x |) - \ln (| 1 - x |)}{2} + C_{4}$

Paso 4.3.14.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - \frac{\ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} + C_{4}$

Paso 4.3.15

Reordena los términos.

$\ln (| 1 + y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |}) + C_{4}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| 1 + y |) = - \frac{1}{2} \ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |}) + C$

Paso 5

Resuelve $y$

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Paso 5.1

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.1.1

Combina $\ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})$ y $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| 1 + y |) = - \frac{\ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} + C$

Paso 5.2

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| 1 + y |) + \frac{\ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} = C$

Paso 5.3

Para escribir $\ln (| 1 + y |)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 1 + y |) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} = C$

Paso 5.4

Simplifica los términos.

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Paso 5.4.1

Combina $\ln (| 1 + y |)$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (| 1 + y |) \cdot 2}{2} + \frac{\ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} = C$

Paso 5.4.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\ln (| 1 + y |) \cdot 2 + \ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} = C$

Paso 5.5

Mueve $2$ a la izquierda de $\ln (| 1 + y |)$ .

$\frac{2 \ln (| 1 + y |) + \ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} = C$

Paso 5.6

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.6.1

Simplifica $\frac{2 \ln (| 1 + y |) + \ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2}$ .

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Paso 5.6.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.6.1.1.1

Simplifica $2 \ln (| 1 + y |)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\frac{\ln ({| 1 + y |}^{2}) + \ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} = C$

Paso 5.6.1.1.2

Elimina el valor absoluto en ${| 1 + y |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$\frac{\ln ({(1 + y)}^{2}) + \ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} = C$

Paso 5.6.1.1.3

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\ln ({(1 + y)}^{2} \frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} = C$

Paso 5.6.1.1.4

Combina ${(1 + y)}^{2}$ y $\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |}$ .

$\frac{\ln (\frac{{(1 + y)}^{2} | 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} = C$

Paso 5.6.1.2

Reescribe $\frac{\ln (\frac{{(1 + y)}^{2} | 1 + x |}{| 1 - x |})}{2}$ como $\frac{1}{2} \ln (\frac{{(1 + y)}^{2} | 1 + x |}{| 1 - x |})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{{(1 + y)}^{2} | 1 + x |}{| 1 - x |}) = C$

Paso 5.6.1.3

Simplifica $\frac{1}{2} \ln (\frac{{(1 + y)}^{2} | 1 + x |}{| 1 - x |})$ al mover $\frac{1}{2}$ dentro del algoritmo.

$\ln ({(\frac{{(1 + y)}^{2} | 1 + x |}{| 1 - x |})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Paso 5.6.1.4

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 5.6.1.4.1

Aplica la regla del producto a $\frac{{(1 + y)}^{2} | 1 + x |}{| 1 - x |}$ .

$\ln (\frac{{({(1 + y)}^{2} | 1 + x |)}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Paso 5.6.1.4.2

Aplica la regla del producto a ${(1 + y)}^{2} | 1 + x |$ .

$\ln (\frac{{({(1 + y)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {| 1 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Paso 5.6.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.6.1.5.1

Multiplica los exponentes en ${({(1 + y)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 5.6.1.5.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{{(1 + y)}^{2 (\frac{1}{2})} {| 1 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Paso 5.6.1.5.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.6.1.5.1.2.1

Cancela el factor común.

$\ln (\frac{{(1 + y)}^{2 (\frac{1}{2})} {| 1 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Paso 5.6.1.5.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\ln (\frac{{(1 + y)}^{1} {| 1 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Paso 5.6.1.5.2

Simplifica.

$\ln (\frac{(1 + y) {| 1 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Paso 5.6.1.6

Reordena los factores en $\ln (\frac{(1 + y) {| 1 + x |}^{\frac{1}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}})$ .

$\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} (1 + y)}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Paso 5.7

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} (1 + y)}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}})} = e^{C}$

Paso 5.8

Reescribe $\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} (1 + y)}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}) = C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{{| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} (1 + y)}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.9

Resuelve $y$

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Paso 5.9.1

Reescribe la ecuación como $\frac{{| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} (1 + y)}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$ .

$\frac{{| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} (1 + y)}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$

Paso 5.9.2

Multiplica ambos lados por ${| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} (1 + y)}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$

Paso 5.9.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.9.3.1

Simplifica $\frac{{| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} (1 + y)}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 5.9.3.1.1

Cancela el factor común de ${| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 5.9.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{{| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} (1 + y)}{{| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$

Paso 5.9.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

${| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} (1 + y) = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$

Paso 5.9.3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

${| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + {| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} y = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$

Paso 5.9.3.1.3

Simplifica la expresión.

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Paso 5.9.3.1.3.1

Multiplica ${| 1 + x |}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

${| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} + {| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} y = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$

Paso 5.9.3.1.3.2

Reordena los factores en ${| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} + {| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} y$ .

${| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} + y {| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$

Paso 5.9.3.1.3.3

Reordena $1$ y $x$ .

${| x + 1 |}^{\frac{1}{2}} + y {| 1 + x |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$

Paso 5.9.3.1.3.4

Reordena $1$ y $x$ .

${| x + 1 |}^{\frac{1}{2}} + y {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$

Paso 5.9.3.1.3.5

Reordena ${| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ y $y {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ .

$y {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}} + {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}$

Paso 5.9.4

Resuelve $y$

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Paso 5.9.4.1

Resta ${| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ de ambos lados de la ecuación.

$y {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}} - {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}$

Paso 5.9.4.2

Divide cada término en $y {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}} - {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ por ${| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ y simplifica.

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Paso 5.9.4.2.1

Divide cada término en $y {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}} - {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ por ${| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.9.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.9.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.9.4.2.2.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}}}{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 5.9.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.9.4.2.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{e^{C} {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}} - {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 6

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{C {| 1 - x |}^{\frac{1}{2}} - {| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$