Cálculo Ejemplos

$x \frac{d y}{d x} = 1 - y^{2}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Divide cada término en $x \frac{d y}{d x} = 1 - y^{2}$ por $x$ y simplifica.

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Paso 1.1.1

Divide cada término en $x \frac{d y}{d x} = 1 - y^{2}$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{1}{x} + \frac{- y^{2}}{x}$

Paso 1.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{1}{x} + \frac{- y^{2}}{x}$

Paso 1.1.2.1.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x} + \frac{- y^{2}}{x}$

Paso 1.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x} - \frac{y^{2}}{x}$

Paso 1.2

Factoriza.

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Paso 1.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - y^{2}}{x}$

Paso 1.2.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{2} - y^{2}}{x}$

Paso 1.2.2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 + y) (1 - y)}{x}$

Paso 1.3

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{(1 + y) (1 - y)}$ .

$\frac{1}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(1 + y) (1 - y)} \cdot \frac{(1 + y) (1 - y)}{x}$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $(1 + y) (1 - y)$ .

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Paso 1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(1 + y) (1 - y)} \cdot \frac{(1 + y) (1 - y)}{x}$

Paso 1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Paso 1.5

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{(1 + y) (1 - y)} d y = \frac{1}{x} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{(1 + y) (1 - y)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 2.2.1.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 2.2.1.1.1

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{1 + y}$

Paso 2.2.1.1.2

$\frac{A}{1 + y} + \frac{B}{1 - y}$

Paso 2.2.1.1.3

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $(1 + y) (1 - y)$ .

$\frac{1 (1 + y) (1 - y)}{(1 + y) (1 - y)} = \frac{(A) (1 + y) (1 - y)}{1 + y} + \frac{(B) (1 + y) (1 - y)}{1 - y}$

Paso 2.2.1.1.4

Cancela el factor común de $1 + y$ .

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Paso 2.2.1.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (1 + y) (1 - y)}{(1 + y) (1 - y)} = \frac{(A) (1 + y) (1 - y)}{1 + y} + \frac{(B) (1 + y) (1 - y)}{1 - y}$

Paso 2.2.1.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 (1 - y)}{1 - y} = \frac{(A) (1 + y) (1 - y)}{1 + y} + \frac{(B) (1 + y) (1 - y)}{1 - y}$

Paso 2.2.1.1.5

Cancela el factor común de $1 - y$ .

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Paso 2.2.1.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (1 - y)}{1 - y} = \frac{(A) (1 + y) (1 - y)}{1 + y} + \frac{(B) (1 + y) (1 - y)}{1 - y}$

Paso 2.2.1.1.5.2

Reescribe la expresión.

$1 = \frac{(A) (1 + y) (1 - y)}{1 + y} + \frac{(B) (1 + y) (1 - y)}{1 - y}$

Paso 2.2.1.1.6

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.6.1

Cancela el factor común de $1 + y$ .

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Paso 2.2.1.1.6.1.1

Cancela el factor común.

$1 = \frac{A (1 + y) (1 - y)}{1 + y} + \frac{(B) (1 + y) (1 - y)}{1 - y}$

Paso 2.2.1.1.6.1.2

Divide $(A) (1 - y)$ por $1$ .

$1 = (A) (1 - y) + \frac{(B) (1 + y) (1 - y)}{1 - y}$

Paso 2.2.1.1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A \cdot 1 + A (- y) + \frac{(B) (1 + y) (1 - y)}{1 - y}$

Paso 2.2.1.1.6.3

Multiplica $A$ por $1$ .

$1 = A + A (- y) + \frac{(B) (1 + y) (1 - y)}{1 - y}$

Paso 2.2.1.1.6.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$1 = A - A y + \frac{(B) (1 + y) (1 - y)}{1 - y}$

Paso 2.2.1.1.6.5

Cancela el factor común de $1 - y$ .

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Paso 2.2.1.1.6.5.1

Cancela el factor común.

$1 = A - A y + \frac{(B) (1 + y) (1 - y)}{1 - y}$

Paso 2.2.1.1.6.5.2

Divide $(B) (1 + y)$ por $1$ .

$1 = A - A y + (B) (1 + y)$

Paso 2.2.1.1.6.6

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = A - A y + B \cdot 1 + B y$

Paso 2.2.1.1.6.7

Multiplica $B$ por $1$ .

$1 = A - A y + B + B y$

Paso 2.2.1.1.7

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.1.1.7.1

Mueve $A$ .

$1 = A - y A + B + B y$

Paso 2.2.1.1.7.2

Reordena $B$ y $y$ .

$1 = A - y A + B + B y$

Paso 2.2.1.1.7.3

Mueve $B$ .

$1 = A - y A + B y + B$

Paso 2.2.1.1.7.4

Mueve $A$ .

$1 = - y A + B y + A + B$

Paso 2.2.1.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 2.2.1.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $y$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = - 1 A + B$

Paso 2.2.1.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $y$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = A + B$

Paso 2.2.1.2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = - 1 A + B$

$1 = A + B$

$0 = - 1 A + B$

$1 = A + B$

Paso 2.2.1.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 2.2.1.3.1

Resuelve $A$ en $1 = A + B$ .

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Paso 2.2.1.3.1.1

Reescribe la ecuación como $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$0 = - 1 A + B$

Paso 2.2.1.3.1.2

Resta $B$ de ambos lados de la ecuación.

$A = 1 - B$

$0 = - 1 A + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 A + B$

Paso 2.2.1.3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $1 - B$ en cada ecuación.

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Paso 2.2.1.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $0 = - 1 A + B$ por $1 - B$ .

$0 = - 1 (1 - B) + B$

$A = 1 - B$

Paso 2.2.1.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.1.3.2.2.1

Simplifica $- 1 (1 - B) + B$ .

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Paso 2.2.1.3.2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.3.2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$0 = - 1 \cdot 1 - 1 (- B) + B$

$A = 1 - B$

Paso 2.2.1.3.2.2.1.1.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$0 = - 1 - 1 (- B) + B$

$A = 1 - B$

Paso 2.2.1.3.2.2.1.1.3

Multiplica $- 1 (- B)$ .

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Paso 2.2.1.3.2.2.1.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$0 = - 1 + 1 B + B$

$A = 1 - B$

Paso 2.2.1.3.2.2.1.1.3.2

Multiplica $B$ por $1$ .

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

Paso 2.2.1.3.2.2.1.2

Suma $B$ y $B$ .

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

Paso 2.2.1.3.3

Resuelve $B$ en $0 = - 1 + 2 B$ .

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Paso 2.2.1.3.3.1

Reescribe la ecuación como $- 1 + 2 B = 0$ .

$- 1 + 2 B = 0$

$A = 1 - B$

Paso 2.2.1.3.3.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 B = 1$

$A = 1 - B$

Paso 2.2.1.3.3.3

Divide cada término en $2 B = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.2.1.3.3.3.1

Divide cada término en $2 B = 1$ por $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Paso 2.2.1.3.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1.3.3.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1.3.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Paso 2.2.1.3.3.3.2.1.2

Divide $B$ por $1$ .

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Paso 2.2.1.3.4

Reemplaza todos los casos de $B$ por $\frac{1}{2}$ en cada ecuación.

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Paso 2.2.1.3.4.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $A = 1 - B$ por $\frac{1}{2}$ .

$A = 1 - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

Paso 2.2.1.3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.1.3.4.2.1

Simplifica $1 - (\frac{1}{2})$ .

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Paso 2.2.1.3.4.2.1.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$A = \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Paso 2.2.1.3.4.2.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$A = \frac{2 - 1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Paso 2.2.1.3.4.2.1.3

Resta $1$ de $2$ .

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Paso 2.2.1.3.5

Enumera todas las soluciones.

$A = \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

Paso 2.2.1.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{1 + y} + \frac{B}{1 - y}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{1 + y} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - y}$

Paso 2.2.1.5

Simplifica.

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Paso 2.2.1.5.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + y} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - y}$

Paso 2.2.1.5.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{1 + y}$ .

$\frac{1}{2 (1 + y)} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - y}$

Paso 2.2.1.5.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{2 (1 + y)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - y}$

Paso 2.2.1.5.4

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{1 - y}$ .

$\int \frac{1}{2 (1 + y)} + \frac{1}{2 (1 - y)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int \frac{1}{2 (1 + y)} d y + \int \frac{1}{2 (1 - y)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $y$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + y} d y + \int \frac{1}{2 (1 - y)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.4

Sea $u_{1} = 1 + y$ . Entonces $d u_{1} = d y$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 2.2.4.1

Deja $u_{1} = 1 + y$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Paso 2.2.4.1.1

Diferencia $1 + y$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y]$

Paso 2.2.4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.2.4.1.3

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.2.4.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 1$

Paso 2.2.4.1.5

Suma $0$ y $1$ .

$1$

Paso 2.2.4.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{2 (1 - y)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.5

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + \int \frac{1}{2 (1 - y)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $y$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 - y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.7

Sea $u_{2} = 1 - y$ . Entonces $d u_{2} = - d y$ , de modo que $- d u_{2} = d y$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 2.2.7.1

Deja $u_{2} = 1 - y$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

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Paso 2.2.7.1.1

Reescribe.

$\frac{- 1}{1}$

Paso 2.2.7.1.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 2.2.7.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + \frac{1}{2} \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + \frac{1}{2} \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.9

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + \frac{1}{2} (- \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}) = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.10

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + \frac{1}{2} (- (\ln (| u_{2} |) + C_{2})) = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.11

Simplifica.

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Paso 2.2.11.1

Simplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{2} (- \ln (| u_{2} |)) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.11.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) - \frac{\ln (| u_{2} |)}{2} + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.12

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 2.2.12.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $1 + y$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y |) - \frac{\ln (| u_{2} |)}{2} + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.12.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $1 - y$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y |) - \frac{\ln (| 1 - y |)}{2} + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.2.13

Reordena los términos.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y |) - \frac{1}{2} \ln (| 1 - y |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y |) - \frac{1}{2} \ln (| 1 - y |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y |) - \frac{1}{2} \ln (| 1 - y |) = \ln (| x |) + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (| 1 + y |)$ .

$\frac{\ln (| 1 + y |)}{2} - \frac{1}{2} \ln (| 1 - y |) = \ln (| x |) + C$

Paso 3.1.1.2

Combina $\ln (| 1 - y |)$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\ln (| 1 + y |)}{2} - \frac{\ln (| 1 - y |)}{2} = \ln (| x |) + C$

Paso 3.2

Multiplica cada término en $\frac{\ln (| 1 + y |)}{2} - \frac{\ln (| 1 - y |)}{2} = \ln (| x |) + C$ por $2$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.2.1

Multiplica cada término en $\frac{\ln (| 1 + y |)}{2} - \frac{\ln (| 1 - y |)}{2} = \ln (| x |) + C$ por $2$ .

$\frac{\ln (| 1 + y |)}{2} \cdot 2 - \frac{\ln (| 1 - y |)}{2} \cdot 2 = \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\ln (| 1 + y |)}{2} \cdot 2 - \frac{\ln (| 1 - y |)}{2} \cdot 2 = \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Paso 3.2.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\ln (| 1 + y |) - \frac{\ln (| 1 - y |)}{2} \cdot 2 = \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Paso 3.2.2.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\ln (| 1 - y |)}{2}$ al numerador.

$\ln (| 1 + y |) + \frac{- \ln (| 1 - y |)}{2} \cdot 2 = \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Paso 3.2.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$\ln (| 1 + y |) + \frac{- \ln (| 1 - y |)}{2} \cdot 2 = \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Paso 3.2.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\ln (| 1 + y |) - \ln (| 1 - y |) = \ln (| x |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.3.1.1

Mueve $2$ a la izquierda de $\ln (| x |)$ .

$\ln (| 1 + y |) - \ln (| 1 - y |) = 2 \cdot \ln (| x |) + C \cdot 2$

Paso 3.2.3.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $C$ .

$\ln (| 1 + y |) - \ln (| 1 - y |) = 2 \ln (| x |) + 2 C$

Paso 3.3

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| 1 + y |) - \ln (| 1 - y |) - 2 \ln (| x |) = 2 C$

Paso 3.4

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 + y |}{| 1 - y |}) - 2 \ln (| x |) = 2 C$

Paso 3.5

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.1

Simplifica $\ln (\frac{| 1 + y |}{| 1 - y |}) - 2 \ln (| x |)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.1.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.1.1.1

Simplifica $- 2 \ln (| x |)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\ln (\frac{| 1 + y |}{| 1 - y |}) - \ln ({| x |}^{2}) = 2 C$

Paso 3.5.1.1.2

Elimina el valor absoluto en ${| x |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$\ln (\frac{| 1 + y |}{| 1 - y |}) - \ln (x^{2}) = 2 C$

Paso 3.5.1.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{| 1 + y |}{| 1 - y |}}{x^{2}}) = 2 C$

Paso 3.5.1.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\ln (\frac{| 1 + y |}{| 1 - y |} \cdot \frac{1}{x^{2}}) = 2 C$

Paso 3.5.1.4

Combinar.

$\ln (\frac{| 1 + y | \cdot 1}{| 1 - y | x^{2}}) = 2 C$

Paso 3.5.1.5

Simplifica la expresión.

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Paso 3.5.1.5.1

Multiplica $| 1 + y |$ por $1$ .

$\ln (\frac{| 1 + y |}{| 1 - y | x^{2}}) = 2 C$

Paso 3.5.1.5.2

Reordena los factores en $\ln (\frac{| 1 + y |}{| 1 - y | x^{2}})$ .

$\ln (\frac{| 1 + y |}{x^{2} | 1 - y |}) = 2 C$

Paso 3.6

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| 1 + y |}{x^{2} | 1 - y |})} = e^{2 C}$

Paso 3.7

Reescribe $\ln (\frac{| 1 + y |}{x^{2} | 1 - y |}) = 2 C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = \frac{| 1 + y |}{x^{2} | 1 - y |}$

Paso 3.8

Resuelve $y$

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Paso 3.8.1

Reescribe la ecuación como $\frac{| 1 + y |}{x^{2} | 1 - y |} = e^{2 C}$ .

$\frac{| 1 + y |}{x^{2} | 1 - y |} = e^{2 C}$

Paso 3.8.2

Multiplica ambos lados por $x^{2} | 1 - y |$ .

$\frac{| 1 + y |}{x^{2} | 1 - y |} (x^{2} | 1 - y |) = e^{2 C} (x^{2} | 1 - y |)$

Paso 3.8.3

Simplifica.

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Paso 3.8.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.8.3.1.1

Cancela el factor común de $x^{2} | 1 - y |$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.8.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{| 1 + y |}{x^{2} | 1 - y |} (x^{2} | 1 - y |) = e^{2 C} (x^{2} | 1 - y |)$

Paso 3.8.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$| 1 + y | = e^{2 C} (x^{2} | 1 - y |)$

Paso 3.8.3.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.8.3.2.1

Reordena los factores en $e^{2 C} x^{2} | 1 - y |$ .

$| 1 + y | = x^{2} e^{2 C} | 1 - y |$

Paso 3.8.4

Resuelve $y$

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Paso 3.8.4.1

Reescribe la ecuación como $x^{2} e^{2 C} | 1 - y | = | 1 + y |$ .

$x^{2} e^{2 C} | 1 - y | = | 1 + y |$

Paso 3.8.4.2

Divide cada término en $x^{2} e^{2 C} | 1 - y | = | 1 + y |$ por $x^{2} e^{2 C}$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.8.4.2.1

Divide cada término en $x^{2} e^{2 C} | 1 - y | = | 1 + y |$ por $x^{2} e^{2 C}$ .

$\frac{x^{2} e^{2 C} | 1 - y |}{x^{2} e^{2 C}} = \frac{| 1 + y |}{x^{2} e^{2 C}}$

Paso 3.8.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.8.4.2.2.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.8.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} e^{2 C} | 1 - y |}{x^{2} e^{2 C}} = \frac{| 1 + y |}{x^{2} e^{2 C}}$

Paso 3.8.4.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{e^{2 C} | 1 - y |}{e^{2 C}} = \frac{| 1 + y |}{x^{2} e^{2 C}}$

Paso 3.8.4.2.2.2

Cancela el factor común de $e^{2 C}$ .

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Paso 3.8.4.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{2 C} | 1 - y |}{e^{2 C}} = \frac{| 1 + y |}{x^{2} e^{2 C}}$

Paso 3.8.4.2.2.2.2

Divide $| 1 - y |$ por $1$ .

$| 1 - y | = \frac{| 1 + y |}{x^{2} e^{2 C}}$

Paso 3.8.4.3

Reescribe la ecuación de valor absoluto como cuatro ecuaciones sin barras del valor absoluto.

$1 - y = \frac{1 + y}{x^{2} e^{2 C}}$

$1 - y = - \frac{1 + y}{x^{2} e^{2 C}}$

$- (1 - y) = \frac{1 + y}{x^{2} e^{2 C}}$

$- (1 - y) = - \frac{1 + y}{x^{2} e^{2 C}}$

Paso 3.8.4.4

Después de simplificar, solo hay dos ecuaciones únicas por resolver.

$1 - y = \frac{1 + y}{x^{2} e^{2 C}}$

$1 - y = - \frac{1 + y}{x^{2} e^{2 C}}$

Paso 3.8.4.5

Resuelve $1 - y = \frac{1 + y}{x^{2} e^{2 C}}$ en $y$ .

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Paso 3.8.4.5.1

Multiplica ambos lados por $x^{2} e^{2 C}$ .

$(1 - y) (x^{2} e^{2 C}) = \frac{1 + y}{x^{2} e^{2 C}} (x^{2} e^{2 C})$

Paso 3.8.4.5.2

Simplifica.

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Paso 3.8.4.5.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.8.4.5.2.1.1

Simplifica $(1 - y) (x^{2} e^{2 C})$ .

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Paso 3.8.4.5.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$1 (x^{2} e^{2 C}) - y (x^{2} e^{2 C}) = \frac{1 + y}{x^{2} e^{2 C}} (x^{2} e^{2 C})$

Paso 3.8.4.5.2.1.1.2

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.8.4.5.2.1.1.2.1

Multiplica $x^{2} e^{2 C}$ por $1$ .

$x^{2} e^{2 C} - y (x^{2} e^{2 C}) = \frac{1 + y}{x^{2} e^{2 C}} (x^{2} e^{2 C})$

Paso 3.8.4.5.2.1.1.2.2

Mueve $y$ .

$x^{2} e^{2 C} - 1 x^{2} y e^{2 C} = \frac{1 + y}{x^{2} e^{2 C}} (x^{2} e^{2 C})$

Paso 3.8.4.5.2.1.1.2.3

Reordena $x^{2} e^{2 C}$ y $- 1 x^{2} y e^{2 C}$ .

$- 1 x^{2} y e^{2 C} + x^{2} e^{2 C} = \frac{1 + y}{x^{2} e^{2 C}} (x^{2} e^{2 C})$

Paso 3.8.4.5.2.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.8.4.5.2.2.1

Simplifica $\frac{1 + y}{x^{2} e^{2 C}} (x^{2} e^{2 C})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.8.4.5.2.2.1.1

Cancela el factor común de $x^{2} e^{2 C}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.8.4.5.2.2.1.1.1

Cancela el factor común.

$- 1 x^{2} y e^{2 C} + x^{2} e^{2 C} = \frac{1 + y}{x^{2} e^{2 C}} (x^{2} e^{2 C})$

Paso 3.8.4.5.2.2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$- 1 x^{2} y e^{2 C} + x^{2} e^{2 C} = 1 + y$

Paso 3.8.4.5.2.2.1.2

Reordena $1$ y $y$ .

$- 1 x^{2} y e^{2 C} + x^{2} e^{2 C} = y + 1$

Paso 3.8.4.5.3

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.8.4.5.3.1

Reescribe $- 1 x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$- x^{2} y e^{2 C} + x^{2} e^{2 C} = y + 1$

Paso 3.8.4.5.3.2

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$- x^{2} y e^{2 C} + x^{2} e^{2 C} - y = 1$

Paso 3.8.4.5.3.3

Resta $x^{2} e^{2 C}$ de ambos lados de la ecuación.

$- x^{2} y e^{2 C} - y = 1 - x^{2} e^{2 C}$

Paso 3.8.4.5.3.4

Factoriza $y$ de $- x^{2} y e^{2 C} - y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.8.4.5.3.4.1

Factoriza $y$ de $- x^{2} y e^{2 C}$ .

$y (- x^{2} e^{2 C}) - y = 1 - x^{2} e^{2 C}$

Paso 3.8.4.5.3.4.2

Factoriza $y$ de $- y$ .

$y (- x^{2} e^{2 C}) + y \cdot - 1 = 1 - x^{2} e^{2 C}$

Paso 3.8.4.5.3.4.3

Factoriza $y$ de $y (- x^{2} e^{2 C}) + y \cdot - 1$ .

$y (- x^{2} e^{2 C} - 1) = 1 - x^{2} e^{2 C}$

Paso 3.8.4.5.3.5

Divide cada término en $y (- x^{2} e^{2 C} - 1) = 1 - x^{2} e^{2 C}$ por $- x^{2} e^{2 C} - 1$ y simplifica.

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Paso 3.8.4.5.3.5.1

Divide cada término en $y (- x^{2} e^{2 C} - 1) = 1 - x^{2} e^{2 C}$ por $- x^{2} e^{2 C} - 1$ .

$\frac{y (- x^{2} e^{2 C} - 1)}{- x^{2} e^{2 C} - 1} = \frac{1}{- x^{2} e^{2 C} - 1} + \frac{- x^{2} e^{2 C}}{- x^{2} e^{2 C} - 1}$

Paso 3.8.4.5.3.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.8.4.5.3.5.2.1

Cancela el factor común de $- x^{2} e^{2 C} - 1$ .

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Paso 3.8.4.5.3.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (- x^{2} e^{2 C} - 1)}{- x^{2} e^{2 C} - 1} = \frac{1}{- x^{2} e^{2 C} - 1} + \frac{- x^{2} e^{2 C}}{- x^{2} e^{2 C} - 1}$

Paso 3.8.4.5.3.5.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{1}{- x^{2} e^{2 C} - 1} + \frac{- x^{2} e^{2 C}}{- x^{2} e^{2 C} - 1}$

Paso 3.8.4.5.3.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.8.4.5.3.5.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{1 - x^{2} e^{2 C}}{- x^{2} e^{2 C} - 1}$

Paso 3.8.4.5.3.5.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 3.8.4.5.3.5.3.2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$y = \frac{1^{2} - x^{2} e^{2 C}}{- x^{2} e^{2 C} - 1}$

Paso 3.8.4.5.3.5.3.2.2

Reescribe $x^{2} e^{2 C}$ como ${(x e^{C})}^{2}$ .

$y = \frac{1^{2} - {(x e^{C})}^{2}}{- x^{2} e^{2 C} - 1}$

Paso 3.8.4.5.3.5.3.2.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = x e^{C}$ .

$y = \frac{(1 + x e^{C}) (1 - x e^{C})}{- x^{2} e^{2 C} - 1}$

Paso 3.8.4.5.3.5.3.3

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 3.8.4.5.3.5.3.3.1

Factoriza $- 1$ de $- x^{2} e^{2 C}$ .

$y = \frac{(1 + x e^{C}) (1 - x e^{C})}{- (x^{2} e^{2 C}) - 1}$

Paso 3.8.4.5.3.5.3.3.2

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$y = \frac{(1 + x e^{C}) (1 - x e^{C})}{- (x^{2} e^{2 C}) - 1 (1)}$

Paso 3.8.4.5.3.5.3.3.3

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2} e^{2 C}) - 1 (1)$ .

$y = \frac{(1 + x e^{C}) (1 - x e^{C})}{- (x^{2} e^{2 C} + 1)}$

Paso 3.8.4.5.3.5.3.3.4

Reescribe los negativos.

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Paso 3.8.4.5.3.5.3.3.4.1

Reescribe $- (x^{2} e^{2 C} + 1)$ como $- 1 (x^{2} e^{2 C} + 1)$ .

$y = \frac{(1 + x e^{C}) (1 - x e^{C})}{- 1 (x^{2} e^{2 C} + 1)}$

Paso 3.8.4.5.3.5.3.3.4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{(1 + x e^{C}) (1 - x e^{C})}{x^{2} e^{2 C} + 1}$

Paso 3.8.4.6

Resuelve $1 - y = - \frac{1 + y}{x^{2} e^{2 C}}$ en $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.8.4.6.1

Multiplica ambos lados por $x^{2} e^{2 C}$ .

$(1 - y) (x^{2} e^{2 C}) = - \frac{1 + y}{x^{2} e^{2 C}} (x^{2} e^{2 C})$

Paso 3.8.4.6.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.8.4.6.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.8.4.6.2.1.1

Simplifica $(1 - y) (x^{2} e^{2 C})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.8.4.6.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$1 (x^{2} e^{2 C}) - y (x^{2} e^{2 C}) = - \frac{1 + y}{x^{2} e^{2 C}} (x^{2} e^{2 C})$

Paso 3.8.4.6.2.1.1.2

Simplifica la expresión.

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Paso 3.8.4.6.2.1.1.2.1

Multiplica $x^{2} e^{2 C}$ por $1$ .

$x^{2} e^{2 C} - y (x^{2} e^{2 C}) = - \frac{1 + y}{x^{2} e^{2 C}} (x^{2} e^{2 C})$

Paso 3.8.4.6.2.1.1.2.2

Mueve $y$ .

$x^{2} e^{2 C} - 1 x^{2} y e^{2 C} = - \frac{1 + y}{x^{2} e^{2 C}} (x^{2} e^{2 C})$

Paso 3.8.4.6.2.1.1.2.3

Reordena $x^{2} e^{2 C}$ y $- 1 x^{2} y e^{2 C}$ .

$- 1 x^{2} y e^{2 C} + x^{2} e^{2 C} = - \frac{1 + y}{x^{2} e^{2 C}} (x^{2} e^{2 C})$

Paso 3.8.4.6.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.8.4.6.2.2.1

Simplifica $- \frac{1 + y}{x^{2} e^{2 C}} (x^{2} e^{2 C})$ .

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Paso 3.8.4.6.2.2.1.1

Cancela el factor común de $x^{2} e^{2 C}$ .

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Paso 3.8.4.6.2.2.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1 + y}{x^{2} e^{2 C}}$ al numerador.

$- 1 x^{2} y e^{2 C} + x^{2} e^{2 C} = \frac{- (1 + y)}{x^{2} e^{2 C}} (x^{2} e^{2 C})$

Paso 3.8.4.6.2.2.1.1.2

Cancela el factor común.

$- 1 x^{2} y e^{2 C} + x^{2} e^{2 C} = \frac{- (1 + y)}{x^{2} e^{2 C}} (x^{2} e^{2 C})$

Paso 3.8.4.6.2.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$- 1 x^{2} y e^{2 C} + x^{2} e^{2 C} = - (1 + y)$

Paso 3.8.4.6.2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- 1 x^{2} y e^{2 C} + x^{2} e^{2 C} = - 1 \cdot 1 - y$

Paso 3.8.4.6.2.2.1.3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.8.4.6.2.2.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1 x^{2} y e^{2 C} + x^{2} e^{2 C} = - 1 - y$

Paso 3.8.4.6.2.2.1.3.2

Reordena $- 1$ y $- y$ .

$- 1 x^{2} y e^{2 C} + x^{2} e^{2 C} = - y - 1$

Paso 3.8.4.6.3

Resuelve $y$

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Paso 3.8.4.6.3.1

Reescribe $- 1 x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$- x^{2} y e^{2 C} + x^{2} e^{2 C} = - y - 1$

Paso 3.8.4.6.3.2

Suma $y$ a ambos lados de la ecuación.

$- x^{2} y e^{2 C} + x^{2} e^{2 C} + y = - 1$

Paso 3.8.4.6.3.3

Resta $x^{2} e^{2 C}$ de ambos lados de la ecuación.

$- x^{2} y e^{2 C} + y = - 1 - x^{2} e^{2 C}$

Paso 3.8.4.6.3.4

Factoriza $y$ de $- x^{2} y e^{2 C} + y$ .

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Paso 3.8.4.6.3.4.1

Factoriza $y$ de $- x^{2} y e^{2 C}$ .

$y (- x^{2} e^{2 C}) + y = - 1 - x^{2} e^{2 C}$

Paso 3.8.4.6.3.4.2

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$y (- x^{2} e^{2 C}) + y = - 1 - x^{2} e^{2 C}$

Paso 3.8.4.6.3.4.3

Factoriza $y$ de $y^{1}$ .

$y (- x^{2} e^{2 C}) + y \cdot 1 = - 1 - x^{2} e^{2 C}$

Paso 3.8.4.6.3.4.4

Factoriza $y$ de $y (- x^{2} e^{2 C}) + y \cdot 1$ .

$y (- x^{2} e^{2 C} + 1) = - 1 - x^{2} e^{2 C}$

Paso 3.8.4.6.3.5

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$y (- x^{2} e^{2 C} + 1^{2}) = - 1 - x^{2} e^{2 C}$

Paso 3.8.4.6.3.6

Reescribe $x^{2} e^{2 C}$ como ${(x e^{C})}^{2}$ .

$y (- {(x e^{C})}^{2} + 1^{2}) = - 1 - x^{2} e^{2 C}$

Paso 3.8.4.6.3.7

Reordena $- {(x e^{C})}^{2}$ y $1^{2}$ .

$y (1^{2} - {(x e^{C})}^{2}) = - 1 - x^{2} e^{2 C}$

Paso 3.8.4.6.3.8

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = x e^{C}$ .

$y ((1 + x e^{C}) (1 - (x e^{C}))) = - 1 - x^{2} e^{2 C}$

Paso 3.8.4.6.3.9

Factoriza.

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Paso 3.8.4.6.3.9.1

Elimina los paréntesis.

$y ((1 + x e^{C}) (1 - x e^{C})) = - 1 - x^{2} e^{2 C}$

Paso 3.8.4.6.3.9.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$y (1 + x e^{C}) (1 - x e^{C}) = - 1 - x^{2} e^{2 C}$

Paso 3.8.4.6.3.10

Divide cada término en $y (1 + x e^{C}) (1 - x e^{C}) = - 1 - x^{2} e^{2 C}$ por $(1 + x e^{C}) (1 - x e^{C})$ y simplifica.

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Paso 3.8.4.6.3.10.1

Divide cada término en $y (1 + x e^{C}) (1 - x e^{C}) = - 1 - x^{2} e^{2 C}$ por $(1 + x e^{C}) (1 - x e^{C})$ .

$\frac{y (1 + x e^{C}) (1 - x e^{C})}{(1 + x e^{C}) (1 - x e^{C})} = \frac{- 1}{(1 + x e^{C}) (1 - x e^{C})} + \frac{- x^{2} e^{2 C}}{(1 + x e^{C}) (1 - x e^{C})}$

Paso 3.8.4.6.3.10.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.8.4.6.3.10.2.1

Cancela el factor común de $1 + x e^{C}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.8.4.6.3.10.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (1 + x e^{C}) (1 - x e^{C})}{(1 + x e^{C}) (1 - x e^{C})} = \frac{- 1}{(1 + x e^{C}) (1 - x e^{C})} + \frac{- x^{2} e^{2 C}}{(1 + x e^{C}) (1 - x e^{C})}$

Paso 3.8.4.6.3.10.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y (1 - x e^{C})}{1 - x e^{C}} = \frac{- 1}{(1 + x e^{C}) (1 - x e^{C})} + \frac{- x^{2} e^{2 C}}{(1 + x e^{C}) (1 - x e^{C})}$

Paso 3.8.4.6.3.10.2.2

Cancela el factor común de $1 - x e^{C}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.8.4.6.3.10.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (1 - x e^{C})}{1 - x e^{C}} = \frac{- 1}{(1 + x e^{C}) (1 - x e^{C})} + \frac{- x^{2} e^{2 C}}{(1 + x e^{C}) (1 - x e^{C})}$

Paso 3.8.4.6.3.10.2.2.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 1}{(1 + x e^{C}) (1 - x e^{C})} + \frac{- x^{2} e^{2 C}}{(1 + x e^{C}) (1 - x e^{C})}$

Paso 3.8.4.6.3.10.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.8.4.6.3.10.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.8.4.6.3.10.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{1}{(1 + x e^{C}) (1 - x e^{C})} + \frac{- x^{2} e^{2 C}}{(1 + x e^{C}) (1 - x e^{C})}$

Paso 3.8.4.6.3.10.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{1}{(1 + x e^{C}) (1 - x e^{C})} - \frac{x^{2} e^{2 C}}{(1 + x e^{C}) (1 - x e^{C})}$

Paso 3.8.4.7