Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = y \cos (x)$ , $y (0) = 17$

Paso 1

Separa las variables.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \cos (x))$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Factoriza $y$ de $y \cos (x)$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (\cos (x)))$

Paso 1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \cos (x))$

Paso 1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \cos (x)$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y} d y = \cos (x) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \cos (x) d x$

Paso 2.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \cos (x) d x$

Paso 2.3

La integral de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $\sin (x)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \sin (x) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y |) = \sin (x) + C$

Paso 3

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\sin (x) + C}$

Paso 3.2

Reescribe $\ln (| y |) = \sin (x) + C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\sin (x) + C} = | y |$

Paso 3.3

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $| y | = e^{\sin (x) + C}$ .

$| y | = e^{\sin (x) + C}$

Paso 3.3.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\sin (x) + C}$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Reescribe $e^{\sin (x) + C}$ como $e^{\sin (x)} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\sin (x)} e^{C}$

Paso 4.2

Reordena $e^{\sin (x)}$ y $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\sin (x)}$

Paso 4.3

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = C e^{\sin (x)}$

Paso 5

Usa la condición inicial para obtener el valor de $C$ mediante la sustitución de $0$ por $x$ y de $17$ por $y$ en $y = C e^{\sin (x)}$ .

$17 = C e^{\sin (0)}$

Paso 6

Resuelve $C$

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $C e^{\sin (0)} = 17$ .

$C e^{\sin (0)} = 17$

Paso 6.2

Divide cada término en $C e^{\sin (0)} = 17$ por $e^{\sin (0)}$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Divide cada término en $C e^{\sin (0)} = 17$ por $e^{\sin (0)}$ .

$\frac{C e^{\sin (0)}}{e^{\sin (0)}} = \frac{17}{e^{\sin (0)}}$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1

Cancela el factor común de $e^{\sin (0)}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{C e^{\sin (0)}}{e^{\sin (0)}} = \frac{17}{e^{\sin (0)}}$

Paso 6.2.2.1.2

Divide $C$ por $1$ .

$C = \frac{17}{e^{\sin (0)}}$

Paso 6.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.3.1

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.3.1.1

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$C = \frac{17}{e^{0}}$

Paso 6.2.3.1.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$C = \frac{17}{1}$

Paso 6.2.3.2

Divide $17$ por $1$ .

$C = 17$

Paso 7

Sustituye $17$ por $C$ en $y = C e^{\sin (x)}$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Sustituye $17$ por $C$ .

$y = 17 e^{\sin (x)}$