Cálculo Ejemplos

$\frac{d N}{d t} N = N t e^{t + 2}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Divide cada término en $\frac{d N}{d t} N = N t e^{t + 2}$ por $N$ y simplifica.

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Paso 1.1.1

Divide cada término en $\frac{d N}{d t} N = N t e^{t + 2}$ por $N$ .

$\frac{\frac{d N}{d t} N}{N} = \frac{N t e^{t + 2}}{N}$

Paso 1.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.1

Cancela el factor común de $N$ .

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Paso 1.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{d N}{d t} N}{N} = \frac{N t e^{t + 2}}{N}$

Paso 1.1.2.1.2

Divide $\frac{d N}{d t}$ por $1$ .

$\frac{d N}{d t} = \frac{N t e^{t + 2}}{N}$

Paso 1.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.3.1

Cancela el factor común de $N$ .

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Paso 1.1.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{d N}{d t} = \frac{N t e^{t + 2}}{N}$

Paso 1.1.3.1.2

Divide $t e^{t + 2}$ por $1$ .

$\frac{d N}{d t} = t e^{t + 2}$

Paso 1.2

Reescribe la ecuación.

$d N = t e^{t + 2} d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d N = \int t e^{t + 2} d t$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$N + C_{1} = \int t e^{t + 2} d t$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = t$ y $d v = e^{t + 2}$ .

$N + C_{1} = t e^{t + 2} - \int e^{t + 2} d t$

Paso 2.3.2

Sea $u = t + 2$ . Entonces $d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.2.1

Deja $u = t + 2$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Diferencia $t + 2$ .

$\frac{d}{d t} [t + 2]$

Paso 2.3.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $t + 2$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]$

Paso 2.3.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [2]$

Paso 2.3.2.1.4

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2$ con respecto a $t$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.3.2.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$N + C_{1} = t e^{t + 2} - \int e^{u} d u$

Paso 2.3.3

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$N + C_{1} = t e^{t + 2} - (e^{u} + C_{2})$

Paso 2.3.4

Simplifica.

$N + C_{1} = t e^{t + 2} - e^{u} + C_{2}$

Paso 2.3.5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $t + 2$ .

$N + C_{1} = t e^{t + 2} - e^{t + 2} + C_{2}$

Paso 2.3.6

Reordena los términos.

$N + C_{1} = e^{t + 2} t - e^{t + 2} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$N = e^{t + 2} t - e^{t + 2} + K$