Cálculo Ejemplos

$(y \ln (y) - 2 x y e^{y}) d x + x (1 - x y e^{y}) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = y \ln (y) - 2 x y e^{y}$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \ln (y) - 2 x y e^{y}]$

Paso 1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y \ln (y) - 2 x y e^{y}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y \ln (y)] + \frac{d}{d y} [- 2 x y e^{y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \ln (y)] + \frac{d}{d y} [- 2 x y e^{y}]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [y \ln (y)]$ .

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Paso 1.3.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = y$ y $g (y) = \ln (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [\ln (y)] + \ln (y) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2 x y e^{y}]$

Paso 1.3.2

La derivada de $\ln (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{1}{y} + \ln (y) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2 x y e^{y}]$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{1}{y} + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2 x y e^{y}]$

Paso 1.3.4

Combina $y$ y $\frac{1}{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{y}{y} + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2 x y e^{y}]$

Paso 1.3.5

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.3.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{y}{y} + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2 x y e^{y}]$

Paso 1.3.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2 x y e^{y}]$

Paso 1.3.6

Multiplica $\ln (y)$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \ln (y) + \frac{d}{d y} [- 2 x y e^{y}]$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{d}{d y} [- 2 x y e^{y}]$ .

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Paso 1.4.1

Como $- 2 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 2 x y e^{y}$ con respecto a $y$ es $- 2 x \frac{d}{d y} [y e^{y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \ln (y) - 2 x \frac{d}{d y} [y e^{y}]$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ es $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ donde $f (y) = y$ y $g (y) = e^{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \ln (y) - 2 x (y \frac{d}{d y} [e^{y}] + e^{y} \frac{d}{d y} [y])$

Paso 1.4.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ es $a^{y} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \ln (y) - 2 x (y e^{y} + e^{y} \frac{d}{d y} [y])$

Paso 1.4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \ln (y) - 2 x (y e^{y} + e^{y} \cdot 1)$

Paso 1.4.5

Multiplica $e^{y}$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \ln (y) - 2 x (y e^{y} + e^{y})$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \ln (y) - 2 x (y e^{y}) - 2 x e^{y}$

Paso 1.5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 + \ln (y) - 2 x y e^{y} - 2 x e^{y}$

Paso 1.5.3

Reordena los términos.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 e^{y} x y - 2 e^{y} x + 1 + \ln (y)$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = x (1 - x y e^{y})$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (1 - x y e^{y})]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = 1 - x y e^{y}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [1 - x y e^{y}] + (1 - x y e^{y}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3

Diferencia.

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Paso 2.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x y e^{y}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x y e^{y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x y e^{y}]) + (1 - x y e^{y}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (0 + \frac{d}{d x} [- x y e^{y}]) + (1 - x y e^{y}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x y e^{y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [- x y e^{y}] + (1 - x y e^{y}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.4

Como $- y e^{y}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x y e^{y}$ con respecto a $x$ es $- y e^{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- y e^{y} \frac{d}{d x} [x]) + (1 - x y e^{y}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- y e^{y} \cdot 1) + (1 - x y e^{y}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- y e^{y}) + (1 - x y e^{y}) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- y e^{y}) + (1 - x y e^{y}) \cdot 1$

Paso 2.3.8

Multiplica $1 - x y e^{y}$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- y e^{y}) + 1 - x y e^{y}$

Paso 2.4

Resta $x y e^{y}$ de $x (- y e^{y})$ .

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Paso 2.4.1

Reordena $x$ y $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 \cdot x y e^{y} - x y e^{y} + 1$

Paso 2.4.2

Resta $x y e^{y}$ de $- 1 \cdot x y e^{y}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x y e^{y} + 1$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $- 2 e^{y} x y - 2 e^{y} x + 1 + \ln (y)$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $- 2 x y e^{y} + 1$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 e^{y} x y - 2 e^{y} x + 1 + \ln (y) = - 2 x y e^{y} + 1$

Paso 3.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$- 2 e^{y} x y - 2 e^{y} x + 1 + \ln (y) = - 2 x y e^{y} + 1$ no es una identidad.

Paso 4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $- 2 x y e^{y} + 1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 2 x y e^{y} + 1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Paso 4.2

Sustituye $- 2 e^{y} x y - 2 e^{y} x + 1 + \ln (y)$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 2 x y e^{y} + 1 - (- 2 e^{y} x y - 2 e^{y} x + 1 + \ln (y))}{M}$

Paso 4.3

Sustituye $y \ln (y) - 2 x y e^{y}$ por $M$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $y \ln (y) - 2 x y e^{y}$ por $M$ .

$\frac{- 2 x y e^{y} + 1 - (- 2 e^{y} x y - 2 e^{y} x + 1 + \ln (y))}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

Paso 4.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 2 x y e^{y} + 1 - (- 2 e^{y} x y) - (- 2 e^{y} x) - 1 \cdot 1 - \ln (y)}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

Paso 4.3.2.2

Simplifica.

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Paso 4.3.2.2.1

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{- 2 x y e^{y} + 1 + 2 (e^{y} x y) - (- 2 e^{y} x) - 1 \cdot 1 - \ln (y)}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

Paso 4.3.2.2.2

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{- 2 x y e^{y} + 1 + 2 (e^{y} x y) + 2 (e^{y} x) - 1 \cdot 1 - \ln (y)}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

Paso 4.3.2.2.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 2 x y e^{y} + 1 + 2 (e^{y} x y) + 2 (e^{y} x) - 1 - \ln (y)}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

Paso 4.3.2.3

Elimina los paréntesis.

$\frac{- 2 x y e^{y} + 1 + 2 e^{y} x y + 2 e^{y} x - 1 - \ln (y)}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

Paso 4.3.2.4

Suma $- 2 x y e^{y}$ y $2 e^{y} x y$ .

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Paso 4.3.2.4.1

Mueve $e^{y}$ .

$\frac{- 2 x y e^{y} + 2 x y e^{y} + 1 + 2 e^{y} x - 1 - \ln (y)}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

Paso 4.3.2.4.2

Suma $- 2 x y e^{y}$ y $2 x y e^{y}$ .

$\frac{0 + 1 + 2 e^{y} x - 1 - \ln (y)}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

Paso 4.3.2.5

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{1 + 2 e^{y} x - 1 - \ln (y)}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

Paso 4.3.2.6

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{2 e^{y} x + 0 - \ln (y)}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

Paso 4.3.2.7

Suma $2 e^{y} x$ y $0$ .

$\frac{2 e^{y} x - \ln (y)}{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}$

Paso 4.3.3

Factoriza $y$ de $y \ln (y) - 2 x y e^{y}$ .

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Paso 4.3.3.1

Factoriza $y$ de $y \ln (y)$ .

$\frac{2 e^{y} x - \ln (y)}{y (\ln (y)) - 2 x y e^{y}}$

Paso 4.3.3.2

Factoriza $y$ de $- 2 x y e^{y}$ .

$\frac{2 e^{y} x - \ln (y)}{y (\ln (y)) + y (- 2 x e^{y})}$

Paso 4.3.3.3

Factoriza $y$ de $y (\ln (y)) + y (- 2 x e^{y})$ .

$\frac{2 e^{y} x - \ln (y)}{y (\ln (y) - 2 x e^{y})}$

Paso 4.3.4

Cancela el factor común de $2 e^{y} x - \ln (y)$ y $\ln (y) - 2 x e^{y}$ .

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Paso 4.3.4.1

Factoriza $- 1$ de $2 e^{y} x$ .

$\frac{- (- 2 e^{y} x) - \ln (y)}{y (\ln (y) - 2 x e^{y})}$

Paso 4.3.4.2

Factoriza $- 1$ de $- \ln (y)$ .

$\frac{- (- 2 e^{y} x) - (\ln (y))}{y (\ln (y) - 2 x e^{y})}$

Paso 4.3.4.3

Factoriza $- 1$ de $- (- 2 e^{y} x) - (\ln (y))$ .

$\frac{- (- 2 e^{y} x + \ln (y))}{y (\ln (y) - 2 x e^{y})}$

Paso 4.3.4.4

Reescribe $- (- 2 e^{y} x + \ln (y))$ como $- 1 (- 2 e^{y} x + \ln (y))$ .

$\frac{- 1 (- 2 e^{y} x + \ln (y))}{y (\ln (y) - 2 x e^{y})}$

Paso 4.3.4.5

Reordena los términos.

$\frac{- 1 (- 2 e^{y} x + \ln (y))}{y (- 2 e^{y} x + \ln (y))}$

Paso 4.3.4.6

Cancela el factor común.

$\frac{- 1 (- 2 e^{y} x + \ln (y))}{y (- 2 e^{y} x + \ln (y))}$

Paso 4.3.4.7

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1}{y}$

Paso 4.3.5

Sustituye $y \ln (y) - 2 x y e^{y}$ por $M$ .

$- \frac{1}{y}$

Paso 4.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

Paso 5

Evalúa la integral $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ .

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Paso 5.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

Paso 5.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

Paso 5.3

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

Paso 5.4

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.1

Simplifica $- \ln (| y |)$ al mover $- 1$ dentro del algoritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

Paso 5.4.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

Paso 5.4.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

Paso 6

Multiplica ambos lados de $(y \ln (y) - 2 x y e^{y}) d x + x (1 - x y e^{y}) d y = 0$ por el factor integrador $\frac{1}{y}$ .

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Paso 6.1

Multiplica $y \ln (y) - 2 x y e^{y}$ por $\frac{1}{y}$ .

$(y \ln (y) - 2 x y e^{y}) \frac{1}{y} d x + x (1 - x y e^{y}) d y = 0$

Paso 6.2

Multiplica $y \ln (y) - 2 x y e^{y}$ por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{y \ln (y) - 2 x y e^{y}}{y} d x + x (1 - x y e^{y}) d y = 0$

Paso 6.3

Factoriza $y$ de $y \ln (y) - 2 x y e^{y}$ .

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Paso 6.3.1

Factoriza $y$ de $y \ln (y)$ .

$\frac{y (\ln (y)) - 2 x y e^{y}}{y} d x + x (1 - x y e^{y}) d y = 0$

Paso 6.3.2

Factoriza $y$ de $- 2 x y e^{y}$ .

$\frac{y (\ln (y)) + y (- 2 x e^{y})}{y} d x + x (1 - x y e^{y}) d y = 0$

Paso 6.3.3

Factoriza $y$ de $y (\ln (y)) + y (- 2 x e^{y})$ .

$\frac{y (\ln (y) - 2 x e^{y})}{y} d x + x (1 - x y e^{y}) d y = 0$

Paso 6.4

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (\ln (y) - 2 x e^{y})}{y} d x + x (1 - x y e^{y}) d y = 0$

Paso 6.4.2

Divide $\ln (y) - 2 x e^{y}$ por $1$ .

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + x (1 - x y e^{y}) d y = 0$

Paso 6.5

Multiplica $x (1 - x y e^{y})$ por $\frac{1}{y}$ .

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + x (1 - x y e^{y}) \frac{1}{y} d y = 0$

Paso 6.6

Aplica la propiedad distributiva.

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + (x \cdot 1 + x (- x y e^{y})) \frac{1}{y} d y = 0$

Paso 6.7

Multiplica $x$ por $1$ .

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + (x + x (- x y e^{y})) \frac{1}{y} d y = 0$

Paso 6.8

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + (x - x (x y e^{y})) \frac{1}{y} d y = 0$

Paso 6.9

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.9.1

Mueve $x$ .

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + (x - (x \cdot x) (y e^{y})) \frac{1}{y} d y = 0$

Paso 6.9.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + (x - x^{2} (y e^{y})) \frac{1}{y} d y = 0$

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + (x - x^{2} y e^{y}) \frac{1}{y} d y = 0$

Paso 6.10

Multiplica $x - x^{2} y e^{y}$ por $\frac{1}{y}$ .

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + \frac{x - x^{2} y e^{y}}{y} d y = 0$

Paso 6.11

Factoriza $x$ de $x - x^{2} y e^{y}$ .

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Paso 6.11.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + \frac{x^{1} - x^{2} y e^{y}}{y} d y = 0$

Paso 6.11.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + \frac{x \cdot 1 - x^{2} y e^{y}}{y} d y = 0$

Paso 6.11.3

Factoriza $x$ de $- x^{2} y e^{y}$ .

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + \frac{x \cdot 1 + x (- x y e^{y})}{y} d y = 0$

Paso 6.11.4

Factoriza $x$ de $x \cdot 1 + x (- x y e^{y})$ .

$(\ln (y) - 2 x e^{y}) d x + \frac{x (1 - x y e^{y})}{y} d y = 0$

Paso 7

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \ln (y) - 2 x e^{y} d x$

Paso 8

Integra $M (x, y) = \ln (y) - 2 x e^{y}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 8.1

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = \int \ln (y) d x + \int - 2 x e^{y} d x$

Paso 8.2

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = \ln (y) x + C + \int - 2 x e^{y} d x$

Paso 8.3

Dado que $- 2 e^{y}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 2 e^{y}$ fuera de la integral.

$f (x, y) = \ln (y) x + C - 2 e^{y} \int x d x$

Paso 8.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \ln (y) x + C - 2 e^{y} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 8.5

Simplifica.

$f (x, y) = \ln (y) x - 2 \cdot \frac{1}{2} e^{y} x^{2} + C$

Paso 8.6

Simplifica.

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Paso 8.6.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \ln (y) x + \frac{- 2}{2} e^{y} x^{2} + C$

Paso 8.6.2

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 8.6.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$f (x, y) = \ln (y) x + \frac{2 \cdot - 1}{2} e^{y} x^{2} + C$

Paso 8.6.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.6.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f (x, y) = \ln (y) x + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} e^{y} x^{2} + C$

Paso 8.6.2.2.2

Cancela el factor común.

$f (x, y) = \ln (y) x + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} e^{y} x^{2} + C$

Paso 8.6.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f (x, y) = \ln (y) x + \frac{- 1}{1} e^{y} x^{2} + C$

Paso 8.6.2.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$f (x, y) = \ln (y) x - e^{y} x^{2} + C$

Paso 9

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = \ln (y) x - e^{y} x^{2} + g (y)$

Paso 10

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

Paso 11

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Paso 11.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\ln (y) x - e^{y} x^{2} + g (y)] = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

Paso 11.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\ln (y) x - e^{y} x^{2} + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [\ln (y) x] + \frac{d}{d y} [- e^{y} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\ln (y) x] + \frac{d}{d y} [- e^{y} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

Paso 11.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [\ln (y) x]$ .

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Paso 11.3.1

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\ln (y) x$ con respecto a $y$ es $x \frac{d}{d y} [\ln (y)]$ .

$x \frac{d}{d y} [\ln (y)] + \frac{d}{d y} [- e^{y} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

Paso 11.3.2

La derivada de $\ln (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{y}$ .

$x \frac{1}{y} + \frac{d}{d y} [- e^{y} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

Paso 11.3.3

Combina $x$ y $\frac{1}{y}$ .

$\frac{x}{y} + \frac{d}{d y} [- e^{y} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

Paso 11.4

Evalúa $\frac{d}{d y} [- e^{y} x^{2}]$ .

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Paso 11.4.1

Como $- x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- e^{y} x^{2}$ con respecto a $y$ es $- x^{2} \frac{d}{d y} [e^{y}]$ .

$\frac{x}{y} - x^{2} \frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

Paso 11.4.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ es $a^{y} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{x}{y} - x^{2} e^{y} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

Paso 11.5

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{x}{y} - x^{2} e^{y} + \frac{d g}{d y} = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

Paso 11.6

Simplifica.

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Paso 11.6.1

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d y} - e^{y} x^{2} + \frac{x}{y} = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

Paso 11.6.2

Reordena los factores en $\frac{d g}{d y} - e^{y} x^{2} + \frac{x}{y}$ .

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x}{y} = \frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$

Paso 12

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 12.1

Mueve todos los términos que contengan las variables al lado izquierdo de la ecuación

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Paso 12.1.1

Resta $\frac{x (1 - x y e^{y})}{y}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x}{y} - \frac{x (1 - x y e^{y})}{y} = 0$

Paso 12.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x - x (1 - x y e^{y})}{y} = 0$

Paso 12.1.3

Simplifica cada término.

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Paso 12.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x - x \cdot 1 - x (- x y e^{y})}{y} = 0$

Paso 12.1.3.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x - x - x (- x y e^{y})}{y} = 0$

Paso 12.1.3.3

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 12.1.3.3.1

Mueve $x$ .

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x - x - (x \cdot x) (- y e^{y})}{y} = 0$

Paso 12.1.3.3.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x - x - x^{2} (- y e^{y})}{y} = 0$

Paso 12.1.3.4

Multiplica $- x^{2} (- y e^{y})$ .

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Paso 12.1.3.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x - x + 1 x^{2} (y e^{y})}{y} = 0$

Paso 12.1.3.4.2

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x - x + x^{2} (y e^{y})}{y} = 0$

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x - x + x^{2} y e^{y}}{y} = 0$

Paso 12.1.4

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{0 + x^{2} y e^{y}}{y} = 0$

Paso 12.1.5

Suma $0$ y $x^{2} y e^{y}$ .

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x^{2} y e^{y}}{y} = 0$

Paso 12.1.6

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 12.1.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + \frac{x^{2} y e^{y}}{y} = 0$

Paso 12.1.6.2

Divide $x^{2} e^{y}$ por $1$ .

$\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + x^{2} e^{y} = 0$

Paso 12.1.7

Combina los términos opuestos en $\frac{d g}{d y} - x^{2} e^{y} + x^{2} e^{y}$ .

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Paso 12.1.7.1

Suma $- x^{2} e^{y}$ y $x^{2} e^{y}$ .

$\frac{d g}{d y} + 0 = 0$

Paso 12.1.7.2

Suma $\frac{d g}{d y}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Paso 13

Obtén la antiderivada de $0$ y obtén $g (y)$ .

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Paso 13.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Paso 13.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Paso 13.3

La integral de $0$ con respecto a $y$ es $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Paso 13.4

Suma $0$ y $C$ .

$g (y) = C$

Paso 14

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = \ln (y) x - e^{y} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = \ln (y) x - e^{y} x^{2} + C$

Paso 15

Reordena los factores en $f (x, y) = \ln (y) x - e^{y} x^{2} + C$ .

$f (x, y) = x \ln (y) - x^{2} e^{y} + C$