Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{- \frac{2}{3}}$ , $y (- 1) = - 5$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = 3 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int 3 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int 3 x^{- \frac{2}{3}} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 3 \int x^{- \frac{2}{3}} d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- \frac{2}{3}}$ con respecto a $x$ es $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$y + C_{1} = 3 (3 x^{\frac{1}{3}} + C_{2})$

Paso 2.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.3.3.1

Reescribe $3 (3 x^{\frac{1}{3}} + C_{2})$ como $3 \cdot 3 x^{\frac{1}{3}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 3 \cdot 3 x^{\frac{1}{3}} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$y + C_{1} = 9 x^{\frac{1}{3}} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = 9 x^{\frac{1}{3}} + K$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $- 1$ por $x$ y de $- 5$ por $y$ en $y = 9 x^{\frac{1}{3}} + K$ .

$- 5 = 9 {(- 1)}^{\frac{1}{3}} + K$

Paso 4

Resuelve $K$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $9 {(- 1)}^{\frac{1}{3}} + K = - 5$ .

$9 {(- 1)}^{\frac{1}{3}} + K = - 5$

Paso 4.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1

Reescribe $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$9 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}} + K = - 5$

Paso 4.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})} + K = - 5$

Paso 4.2.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.3.1

Cancela el factor común.

$9 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})} + K = - 5$

Paso 4.2.3.2

Reescribe la expresión.

$9 {(- 1)}^{1} + K = - 5$

Paso 4.2.4

Evalúa el exponente.

$9 \cdot - 1 + K = - 5$

Paso 4.2.5

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$- 9 + K = - 5$

Paso 4.3

Mueve todos los términos que no contengan $K$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.3.1

Suma $9$ a ambos lados de la ecuación.

$K = - 5 + 9$

Paso 4.3.2

Suma $- 5$ y $9$ .

$K = 4$

Paso 5

Sustituye $4$ por $K$ en $y = 9 x^{\frac{1}{3}} + K$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $4$ por $K$ .

$y = 9 x^{\frac{1}{3}} + 4$