Cálculo Ejemplos

$(x^{2} + y^{2} + x) d x + (x y) d y = 0$

Paso 1

Escribe el problema como una expresión matemática.

$(x^{2} + y^{2} + x) d x + (x y) d y = 0$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = x^{2} + y^{2} + x$ .

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Paso 2.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2} + x]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + y^{2} + x$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x]$

Paso 2.3

Como $x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x^{2}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [x]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + \frac{d}{d y} [x]$

Paso 2.5

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y + 0$

Paso 2.6

Combina los términos.

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Paso 2.6.1

Suma $0$ y $2 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y + 0$

Paso 2.6.2

Suma $2 y$ y $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Paso 3

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = x y$ .

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Paso 3.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 3.2

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $x y$ con respecto a $x$ es $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 1$

Paso 3.4

Multiplica $y$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y$

Paso 4

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $y$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 y = y$

Paso 4.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$2 y = y$ no es una identidad.

Paso 5

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Paso 5.1

Sustituye $2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Paso 5.2

Sustituye $y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 y - y}{N}$

Paso 5.3

Sustituye $x y$ por $N$ .

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Paso 5.3.1

Sustituye $x y$ por $N$ .

$\frac{2 y - y}{x y}$

Paso 5.3.2

Resta $y$ de $2 y$ .

$\frac{y}{x y}$

Paso 5.3.3

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 5.3.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{y}{x y}$

Paso 5.3.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{x}$

Paso 5.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Paso 6

Evalúa la integral $e^{\int \frac{1}{x} d x}$ .

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Paso 6.1

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |) + C}$

Paso 6.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 6.2.1

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |)} + C$

Paso 6.2.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$μ (x, y) = | x | + C$

Paso 7

Multiplica ambos lados de $(x^{2} + y^{2} + x) d x + x y d y = 0$ por el factor integrador $x$ .

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Paso 7.1

Multiplica $x^{2} + y^{2} + x$ por $x$ .

$(x^{2} + y^{2} + x) x d x + x y d y = 0$

Paso 7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(x^{2} x + y^{2} x + x \cdot x) d x + x y d y = 0$

Paso 7.3

Simplifica.

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Paso 7.3.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 7.3.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 7.3.1.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$(x^{2} x^{1} + y^{2} x + x \cdot x) d x + x y d y = 0$

Paso 7.3.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(x^{2 + 1} + y^{2} x + x \cdot x) d x + x y d y = 0$

Paso 7.3.1.2

Suma $2$ y $1$ .

$(x^{3} + y^{2} x + x \cdot x) d x + x y d y = 0$

Paso 7.3.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$(x^{3} + y^{2} x + x^{2}) d x + x y d y = 0$

Paso 7.4

Multiplica $x y$ por $x$ .

$(x^{3} + y^{2} x + x^{2}) d x + x y x d y = 0$

Paso 7.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 7.5.1

Mueve $x$ .

$(x^{3} + y^{2} x + x^{2}) d x + x \cdot x y d y = 0$

Paso 7.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$(x^{3} + y^{2} x + x^{2}) d x + x^{2} y d y = 0$

Paso 8

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{2} y d y$

Paso 9

Integra $N (x, y) = x^{2} y$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 9.1

Dado que $x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , mueve $x^{2}$ fuera de la integral.

$f (x, y) = x^{2} \int y d y$

Paso 9.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Paso 9.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.3.1

Reescribe $x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ como $x^{2} \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = x^{2} \frac{1}{2} y^{2} + C$

Paso 9.3.2

Simplifica.

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Paso 9.3.2.1

Combina $x^{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} y^{2} + C$

Paso 9.3.2.2

Combina $\frac{x^{2}}{2}$ y $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} + C$

Paso 9.3.3

Reordena los términos.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + C$

Paso 10

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (x)$

Paso 11

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Paso 12

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Paso 12.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (x)] = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Paso 12.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Paso 12.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2} y^{2}]$ .

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Paso 12.3.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Paso 12.3.2

Combina $\frac{x^{2}}{2}$ y $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Paso 12.3.3

Como $\frac{y^{2}}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x^{2} y^{2}}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Paso 12.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{y^{2}}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Paso 12.3.5

Combina $2$ y $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{2 y^{2}}{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Paso 12.3.6

Combina $\frac{2 y^{2}}{2}$ y $x$ .

$\frac{2 y^{2} x}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Paso 12.3.7

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 12.3.7.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y^{2} x}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Paso 12.3.7.2

Divide $y^{2} x$ por $1$ .

$y^{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Paso 12.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$y^{2} x + \frac{d g}{d x} = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Paso 12.5

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} x = x^{3} + y^{2} x + x^{2}$

Paso 13

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 13.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 13.1.1

Resta $y^{2} x$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} = x^{3} + y^{2} x + x^{2} - y^{2} x$

Paso 13.1.2

Combina los términos opuestos en $x^{3} + y^{2} x + x^{2} - y^{2} x$ .

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Paso 13.1.2.1

Resta $y^{2} x$ de $y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{3} + x^{2} + 0$

Paso 13.1.2.2

Suma $x^{3} + x^{2}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{3} + x^{2}$

Paso 14

Obtén la antiderivada de $x^{3} + x^{2}$ y obtén $g (x)$ .

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Paso 14.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = x^{3} + x^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{3} + x^{2} d x$

Paso 14.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x^{3} + x^{2} d x$

Paso 14.3

Divide la única integral en varias integrales.

$g (x) = \int x^{3} d x + \int x^{2} d x$

Paso 14.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$g (x) = \frac{1}{4} x^{4} + C + \int x^{2} d x$

Paso 14.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = \frac{1}{4} x^{4} + C + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Paso 14.6

Simplifica.

$g (x) = \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Paso 15

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Paso 16

Simplifica cada término.

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Paso 16.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} y^{2} + \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Paso 16.2

Combina $\frac{x^{2}}{2}$ y $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} + \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Paso 16.3

Combina $\frac{1}{4}$ y $x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{4} + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Paso 16.4

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{3}}{3} + C$