Cálculo Ejemplos

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 4 y = \cos (2 x)$

Paso 1

Supón que todas las soluciones son en formato $y = e^{r x}$ .

Paso 2

Obtén la ecuación característica para $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 4 y = \cos (2 x)$ .

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

$\frac{d y}{d x} = r e^{r x}$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = r^{2} e^{r x}$

Paso 2.3

Sustituye en la ecuación diferencial.

$r^{2} e^{r x} + 4 e^{r x} = \cos (2 x)$

Paso 2.4

Factoriza $e^{r x}$ .

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Paso 2.4.1

Factoriza $e^{r x}$ de $r^{2} e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + 4 e^{r x} = \cos (2 x)$

Paso 2.4.2

Factoriza $e^{r x}$ de $4 e^{r x}$ .

$e^{r x} r^{2} + e^{r x} \cdot 4 = \cos (2 x)$

Paso 2.4.3

Factoriza $e^{r x}$ de $e^{r x} r^{2} + e^{r x} \cdot 4$ .

$e^{r x} (r^{2} + 4) = \cos (2 x)$

Paso 2.5

Como los exponenciales no pueden ser cero, divide ambos lados por $e^{r x}$ .

$r^{2} + 4 = \cos (2 x)$

Paso 3

Resuelve $r$

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Paso 3.1

Usa la razón del ángulo doble para transformar $\cos (2 x)$ a $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$r^{2} + 4 = 1 - 2 \sin^{2} (x)$

Paso 3.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$r^{2} = 1 - 2 \sin^{2} (x) - 4$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Resta $4$ de $1$ .

$r^{2} = - 3 - 2 \sin^{2} (x)$

Paso 3.4

Resuelve la ecuación en $r$ .

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Paso 3.4.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$r = \pm \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)}$

Paso 3.4.2

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.4.2.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$r = \sqrt{- 3 - 2 \sin^{2} (x)}$

Paso 3.4.2.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.