Cálculo Ejemplos

$(x y) d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = x y$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y]$

Paso 1.2

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x y$ con respecto a $y$ es $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cdot 1$

Paso 1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = x^{2} + y^{2}$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 2.4

Como $y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y^{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 0$

Paso 2.5

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $x$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $2 x$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x = 2 x$

Paso 3.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$x = 2 x$ no es una identidad.

Paso 4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $2 x$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Paso 4.2

Sustituye $x$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 x - x}{M}$

Paso 4.3

Sustituye $x y$ por $M$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $x y$ por $M$ .

$\frac{2 x - x}{x y}$

Paso 4.3.2

Resta $x$ de $2 x$ .

$\frac{x}{x y}$

Paso 4.3.3

Sustituye $x y$ por $M$ .

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Paso 4.3.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{x}{x y}$

Paso 4.3.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y}$

Paso 4.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{y} d y}$

Paso 5

Evalúa la integral $e^{\int \frac{1}{y} d y}$ .

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Paso 5.1

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |) + C}$

Paso 5.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.2.1

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |)} + C$

Paso 5.2.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$μ (x, y) = | y | + C$

Paso 6

Multiplica ambos lados de $x y d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$ por el factor integrador $y$ .

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Paso 6.1

Multiplica $x y$ por $y$ .

$x y \cdot y d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Paso 6.2

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.1

Mueve $y$ .

$x (y \cdot y) d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Paso 6.2.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$x y^{2} d x + (x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Paso 6.3

Multiplica $x^{2} + y^{2}$ por $y$ .

$x y^{2} d x + (x^{2} + y^{2}) y d y = 0$

Paso 6.4

Aplica la propiedad distributiva.

$x y^{2} d x + (x^{2} y + y^{2} y) d y = 0$

Paso 6.5

Multiplica $y^{2}$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 6.5.1

Multiplica $y^{2}$ por $y$ .

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Paso 6.5.1.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$x y^{2} d x + (x^{2} y + y^{2} y^{1}) d y = 0$

Paso 6.5.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x y^{2} d x + (x^{2} y + y^{2 + 1}) d y = 0$

Paso 6.5.2

Suma $2$ y $1$ .

$x y^{2} d x + (x^{2} y + y^{3}) d y = 0$

Paso 7

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x y^{2} d x$

Paso 8

Integra $M (x, y) = x y^{2}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 8.1

Dado que $y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $y^{2}$ fuera de la integral.

$f (x, y) = y^{2} \int x d x$

Paso 8.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 8.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.3.1

Reescribe $y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$f (x, y) = y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Paso 8.3.2

Simplifica.

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Paso 8.3.2.1

Combina $y^{2}$ y $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} x^{2} + C$

Paso 8.3.2.2

Combina $\frac{y^{2}}{2}$ y $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + C$

Paso 8.3.3

Reordena los términos.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + C$

Paso 9

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$

Paso 10

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{2} y + y^{3}$

Paso 11

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Paso 11.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)] = x^{2} y + y^{3}$

Paso 11.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y^{3}$

Paso 11.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}]$ .

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Paso 11.3.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y^{3}$

Paso 11.3.2

Combina $\frac{y^{2}}{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{2} x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y^{3}$

Paso 11.3.3

Como $\frac{x^{2}}{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\frac{y^{2} x^{2}}{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y^{3}$

Paso 11.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{x^{2}}{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y^{3}$

Paso 11.3.5

Combina $2$ y $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y^{3}$

Paso 11.3.6

Combina $\frac{2 x^{2}}{2}$ y $y$ .

$\frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y^{3}$

Paso 11.3.7

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 11.3.7.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y^{3}$

Paso 11.3.7.2

Divide $x^{2} y$ por $1$ .

$x^{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + y^{3}$

Paso 11.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{2} y + \frac{d g}{d y} = x^{2} y + y^{3}$

Paso 11.5

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = x^{2} y + y^{3}$

Paso 12

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 12.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d y}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 12.1.1

Resta $x^{2} y$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + y^{3} - x^{2} y$

Paso 12.1.2

Combina los términos opuestos en $x^{2} y + y^{3} - x^{2} y$ .

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Paso 12.1.2.1

Resta $x^{2} y$ de $x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{3} + 0$

Paso 12.1.2.2

Suma $y^{3}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{3}$

Paso 13

Obtén la antiderivada de $y^{3}$ y obtén $g (y)$ .

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Paso 13.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = y^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y^{3} d y$

Paso 13.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y^{3} d y$

Paso 13.3

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{3}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$g (y) = \frac{1}{4} y^{4} + C$

Paso 14

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Paso 15

Simplifica cada término.

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Paso 15.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} x^{2} + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Paso 15.2

Combina $\frac{y^{2}}{2}$ y $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Paso 15.3

Combina $\frac{1}{4}$ y $y^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{y^{4}}{4} + C$