Cálculo Ejemplos

$\frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y + (x y^{2} - y) d x = 0$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial para que se ajuste a la técnica de ecuación diferencial exacta.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Reescribe.

$(x y^{2} - y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = x y^{2} - y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y^{2} - y]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x y^{2} - y$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [x y^{2}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x y^{2}$ con respecto a $y$ es $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (2 y) + \frac{d}{d y} [- y]$

Paso 2.3.3

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + \frac{d}{d y} [- y]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d y} [- y]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- y$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y - \frac{d}{d y} [y]$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y - 1 \cdot 1$

Paso 2.4.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y - 1$

Paso 3

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Factoriza $x$ de $3 x^{2} y - 4 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1.1

Factoriza $x$ de $3 x^{2} y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\frac{x (3 x y) - 4 x}{2}]$

Paso 3.2.1.2

Factoriza $x$ de $- 4 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\frac{x (3 x y) + x \cdot - 4}{2}]$

Paso 3.2.1.3

Factoriza $x$ de $x (3 x y) + x \cdot - 4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\frac{x (3 x y - 4)}{2}]$

Paso 3.2.2

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x (3 x y - 4)}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x (3 x y - 4)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x (3 x y - 4)]$

Paso 3.3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = 3 x y - 4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x \frac{d}{d x} [3 x y - 4] + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.4

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x y - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x (\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.4.2

Como $3 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x y$ con respecto a $x$ es $3 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x (3 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x (3 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]) + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.4.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x (3 y + \frac{d}{d x} [- 4]) + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.4.5

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x (3 y + 0) + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.4.6

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.6.1

Suma $3 y$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (x (3 y) + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.4.6.2

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (3 \cdot x y + (3 x y - 4) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 3.4.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (3 x y + (3 x y - 4) \cdot 1)$

Paso 3.4.8

Simplifica mediante la adición de términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.8.1

Multiplica $3 x y - 4$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (3 x y + 3 x y - 4)$

Paso 3.4.8.2

Suma $3 x y$ y $3 x y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (6 x y - 4)$

Paso 3.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{2} (6 x y) + \frac{1}{2} \cdot - 4$

Paso 3.5.2

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.1

Combina $6$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{6}{2} (x y) + \frac{1}{2} \cdot - 4$

Paso 3.5.2.2

Combina $x$ y $\frac{6}{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 6}{2} y + \frac{1}{2} \cdot - 4$

Paso 3.5.2.3

Combina $\frac{x \cdot 6}{2}$ y $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 6 y}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 4$

Paso 3.5.2.4

Mueve $6$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{6 \cdot x y}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 4$

Paso 3.5.2.5

Cancela el factor común de $6$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.5.1

Factoriza $2$ de $6 x y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{2 (3 x y)}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 4$

Paso 3.5.2.5.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.5.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{2 (3 x y)}{2 (1)} + \frac{1}{2} \cdot - 4$

Paso 3.5.2.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{2 (3 x y)}{2 \cdot 1} + \frac{1}{2} \cdot - 4$

Paso 3.5.2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{3 x y}{1} + \frac{1}{2} \cdot - 4$

Paso 3.5.2.5.2.4

Divide $3 x y$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y + \frac{1}{2} \cdot - 4$

Paso 3.5.2.6

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y + \frac{- 4}{2}$

Paso 3.5.2.7

Cancela el factor común de $- 4$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.7.1

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y + \frac{2 \cdot - 2}{2}$

Paso 3.5.2.7.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.7.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Paso 3.5.2.7.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Paso 3.5.2.7.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y + \frac{- 2}{1}$

Paso 3.5.2.7.2.4

Divide $- 2$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 x y - 2$

Paso 4

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Sustituye $2 x y - 1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $3 x y - 2$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x y - 1 = 3 x y - 2$

Paso 4.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$2 x y - 1 = 3 x y - 2$ no es una identidad.

Paso 5

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Sustituye $3 x y - 2$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{3 x y - 2 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Paso 5.2

Sustituye $2 x y - 1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{3 x y - 2 - (2 x y - 1)}{M}$

Paso 5.3

Sustituye $x y^{2} - y$ por $M$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Sustituye $x y^{2} - y$ por $M$ .

$\frac{3 x y - 2 - (2 x y - 1)}{x y^{2} - y}$

Paso 5.3.2

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x y - 2 - (2 x y) - - 1}{x y^{2} - y}$

Paso 5.3.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{3 x y - 2 - 2 (x y) - - 1}{x y^{2} - y}$

Paso 5.3.2.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{3 x y - 2 - 2 (x y) + 1}{x y^{2} - y}$

Paso 5.3.2.4

Resta $2 x y$ de $3 x y$ .

$\frac{1 x y - 2 + 1}{x y^{2} - y}$

Paso 5.3.2.5

Suma $- 2$ y $1$ .

$\frac{1 x y - 1}{x y^{2} - y}$

Paso 5.3.2.6

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{x y - 1}{x y^{2} - y}$

Paso 5.3.3

Factoriza $y$ de $x y^{2} - y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.3.1

Factoriza $y$ de $x y^{2}$ .

$\frac{x y - 1}{y (x y) - y}$

Paso 5.3.3.2

Factoriza $y$ de $- y$ .

$\frac{x y - 1}{y (x y) + y \cdot - 1}$

Paso 5.3.3.3

Factoriza $y$ de $y (x y) + y \cdot - 1$ .

$\frac{x y - 1}{y (x y - 1)}$

Paso 5.3.4

Sustituye $x y^{2} - y$ por $M$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y - 1}{y (x y - 1)}$

Paso 5.3.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y}$

Paso 5.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{y} d y}$

Paso 6

Evalúa la integral $e^{\int \frac{1}{y} d y}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |) + C}$

Paso 6.2

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{\ln (| y |)} + C$

Paso 6.2.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$μ (x, y) = | y | + C$

Paso 7

Multiplica ambos lados de $(x y^{2} - y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$ por el factor integrador $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Multiplica $x y^{2} - y$ por $y$ .

$(x y^{2} - y) y d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

Paso 7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(x y^{2} y - y \cdot y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

Paso 7.3

Multiplica $y^{2}$ por $y$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.1

Mueve $y$ .

$(x (y \cdot y^{2}) - y \cdot y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

Paso 7.3.2

Multiplica $y$ por $y^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.3.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$(x (y^{1} y^{2}) - y \cdot y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

Paso 7.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(x y^{1 + 2} - y \cdot y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

Paso 7.3.3

Suma $1$ y $2$ .

$(x y^{3} - y \cdot y) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

Paso 7.4

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.4.1

Mueve $y$ .

$(x y^{3} - (y \cdot y)) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

Paso 7.4.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} d y = 0$

Paso 7.5

Multiplica $\frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2}$ por $y$ .

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{(3 x^{2} y - 4 x)}{2} y d y = 0$

Paso 7.6

Factoriza $x$ de $3 x^{2} y - 4 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.6.1

Factoriza $x$ de $3 x^{2} y$ .

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{x (3 x y) - 4 x}{2} y d y = 0$

Paso 7.6.2

Factoriza $x$ de $- 4 x$ .

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{x (3 x y) + x \cdot - 4}{2} y d y = 0$

Paso 7.6.3

Factoriza $x$ de $x (3 x y) + x \cdot - 4$ .

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{x (3 x y - 4)}{2} y d y = 0$

Paso 7.7

Combina $\frac{x (3 x y - 4)}{2}$ y $y$ .

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{x (3 x y - 4) y}{2} d y = 0$

Paso 7.8

Reordena los factores en $\frac{x (3 x y - 4) y}{2}$ .

$(x y^{3} - y^{2}) d x + \frac{x y (3 x y - 4)}{2} d y = 0$

Paso 8

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x y (3 x y - 4)}{2} d y$

Paso 9

Integra $N (x, y) = \frac{x y (3 x y - 4)}{2}$ para obtener $f (x, y)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Dado que $\frac{x}{2}$ es constante con respecto a $y$ , mueve $\frac{x}{2}$ fuera de la integral.

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int y (3 x y - 4) d y$

Paso 9.2

Expande $y (3 x y - 4)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int y (3 x y) + y \cdot - 4 d y$

Paso 9.2.2

Mueve los paréntesis.

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int y (3 x) y + y \cdot - 4 d y$

Paso 9.2.3

Elimina los paréntesis.

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int y \cdot 3 x y + y \cdot - 4 d y$

Paso 9.2.4

Reordena $y$ y $3$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int 3 \cdot y x y + y \cdot - 4 d y$

Paso 9.2.5

Reordena $y$ y $- 4$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int 3 y x y - 4 y d y$

Paso 9.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.3.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int 3 x (y^{1} y) - 4 y d y$

Paso 9.3.2

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int 3 x (y^{1} y^{1}) - 4 y d y$

Paso 9.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int 3 x y^{1 + 1} - 4 y d y$

Paso 9.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} \int 3 x y^{2} - 4 y d y$

Paso 9.4

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = \frac{x}{2} (\int 3 x y^{2} d y + \int - 4 y d y)$

Paso 9.5

Dado que $3 x$ es constante con respecto a $y$ , mueve $3 x$ fuera de la integral.

$f (x, y) = \frac{x}{2} (3 x \int y^{2} d y + \int - 4 y d y)$

Paso 9.6

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} (3 x (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int - 4 y d y)$

Paso 9.7

Combina $\frac{1}{3}$ y $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} (3 x (\frac{y^{3}}{3} + C) + \int - 4 y d y)$

Paso 9.8

Dado que $- 4$ es constante con respecto a $y$ , mueve $- 4$ fuera de la integral.

$f (x, y) = \frac{x}{2} (3 x (\frac{y^{3}}{3} + C) - 4 \int y d y)$

Paso 9.9

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} (3 x (\frac{y^{3}}{3} + C) - 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C))$

Paso 9.10

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} (3 x (\frac{y^{3}}{3} + C) - 4 (\frac{y^{2}}{2} + C))$

Paso 9.11

Simplifica.

$f (x, y) = \frac{x}{2} (x y^{3} - 2 y^{2}) + C$

Paso 9.12

Reordena los términos.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2}) + C$

Paso 10

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2}) + g (x)$

Paso 11

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x y^{3} - y^{2}$

Paso 12

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2}) + g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Paso 12.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2}) + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Paso 12.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2})]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.3.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2} (x y^{3} - 2 y^{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Paso 12.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \frac{x}{2}$ y $g (x) = x y^{3} - 2 y^{2}$ .

$\frac{x}{2} \frac{d}{d x} [x y^{3} - 2 y^{2}] + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Paso 12.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x y^{3} - 2 y^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$ .

$\frac{x}{2} (\frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]) + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Paso 12.3.4

Como $y^{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $x y^{3}$ con respecto a $x$ es $y^{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{2} (y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]) + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Paso 12.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x}{2} (y^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]) + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Paso 12.3.6

Como $- 2 y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 y^{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x}{2} (y^{3} \cdot 1 + 0) + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Paso 12.3.7

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{2} (y^{3} \cdot 1 + 0) + (x y^{3} - 2 y^{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Paso 12.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x}{2} (y^{3} \cdot 1 + 0) + (x y^{3} - 2 y^{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Paso 12.3.9

Multiplica $y^{3}$ por $1$ .

$\frac{x}{2} (y^{3} + 0) + (x y^{3} - 2 y^{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Paso 12.3.10

Suma $y^{3}$ y $0$ .

$\frac{x}{2} y^{3} + (x y^{3} - 2 y^{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Paso 12.3.11

Combina $\frac{x}{2}$ y $y^{3}$ .

$\frac{x y^{3}}{2} + (x y^{3} - 2 y^{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Paso 12.3.12

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{x y^{3}}{2} + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{1}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Paso 12.3.13

Para escribir $(x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{1}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x y^{3}}{2} + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Paso 12.3.14

Combina $(x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{1}{2}$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x y^{3}}{2} + \frac{(x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{1}{2} \cdot 2}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Paso 12.3.15

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x y^{3} + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{1}{2} \cdot 2}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Paso 12.3.16

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x y^{3} + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{2}{2}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Paso 12.3.17

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.3.17.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y^{3} + (x y^{3} - 2 y^{2}) \frac{2}{2}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Paso 12.3.17.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x y^{3} + (x y^{3} - 2 y^{2}) \cdot 1}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Paso 12.3.18

Multiplica $x y^{3} - 2 y^{2}$ por $1$ .

$\frac{x y^{3} + x y^{3} - 2 y^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Paso 12.3.19

Suma $x y^{3}$ y $x y^{3}$ .

$\frac{2 x y^{3} - 2 y^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{3} - y^{2}$

Paso 12.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{2 x y^{3} - 2 y^{2}}{2} + \frac{d g}{d x} = x y^{3} - y^{2}$

Paso 12.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.5.1

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.5.1.1

Para escribir $\frac{d g}{d x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x y^{3} - 2 y^{2}}{2} + \frac{d g}{d x} \cdot \frac{2}{2} = x y^{3} - y^{2}$

Paso 12.5.1.2

Combina $\frac{d g}{d x}$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x y^{3} - 2 y^{2}}{2} + \frac{\frac{d g}{d x} \cdot 2}{2} = x y^{3} - y^{2}$

Paso 12.5.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 x y^{3} - 2 y^{2} + \frac{d g}{d x} \cdot 2}{2} = x y^{3} - y^{2}$

Paso 12.5.1.4

Mueve $2$ a la izquierda de $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{2 x y^{3} - 2 y^{2} + 2 \cdot \frac{d g}{d x}}{2} = x y^{3} - y^{2}$

Paso 12.5.1.5

Cancela el factor común de $2 x y^{3} - 2 y^{2} + 2 \frac{d g}{d x}$ y $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.5.1.5.1

Factoriza $2$ de $2 x y^{3}$ .

$\frac{2 (x y^{3}) - 2 y^{2} + 2 \frac{d g}{d x}}{2} = x y^{3} - y^{2}$

Paso 12.5.1.5.2

Factoriza $2$ de $- 2 y^{2}$ .

$\frac{2 (x y^{3}) + 2 (- y^{2}) + 2 \frac{d g}{d x}}{2} = x y^{3} - y^{2}$

Paso 12.5.1.5.3

Factoriza $2$ de $2 (x y^{3}) + 2 (- y^{2})$ .

$\frac{2 (x y^{3} - y^{2}) + 2 \frac{d g}{d x}}{2} = x y^{3} - y^{2}$

Paso 12.5.1.5.4

Factoriza $2$ de $2 \frac{d g}{d x}$ .

$\frac{2 (x y^{3} - y^{2}) + 2 (\frac{d g}{d x})}{2} = x y^{3} - y^{2}$

Paso 12.5.1.5.5

Factoriza $2$ de $2 (x y^{3} - y^{2}) + 2 (\frac{d g}{d x})$ .

$\frac{2 (x y^{3} - y^{2} + \frac{d g}{d x})}{2} = x y^{3} - y^{2}$

Paso 12.5.1.5.6

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.5.1.5.6.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (x y^{3} - y^{2} + \frac{d g}{d x})}{2 (1)} = x y^{3} - y^{2}$

Paso 12.5.1.5.6.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 (x y^{3} - y^{2} + \frac{d g}{d x})}{2 \cdot 1} = x y^{3} - y^{2}$

Paso 12.5.1.5.6.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x y^{3} - y^{2} + \frac{d g}{d x}}{1} = x y^{3} - y^{2}$

Paso 12.5.1.5.6.4

Divide $x y^{3} - y^{2} + \frac{d g}{d x}$ por $1$ .

$x y^{3} - y^{2} + \frac{d g}{d x} = x y^{3} - y^{2}$

Paso 12.5.2

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d x} - y^{2} + y^{3} x = x y^{3} - y^{2}$

Paso 13

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.1

Suma $y^{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} + y^{3} x = x y^{3} - y^{2} + y^{2}$

Paso 13.1.2

Resta $y^{3} x$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} = x y^{3} - y^{2} + y^{2} - y^{3} x$

Paso 13.1.3

Combina los términos opuestos en $x y^{3} - y^{2} + y^{2} - y^{3} x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.3.1

Suma $- y^{2}$ y $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = x y^{3} + 0 - y^{3} x$

Paso 13.1.3.2

Suma $x y^{3}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x y^{3} - y^{3} x$

Paso 13.1.3.3

Reordena los factores en los términos $x y^{3}$ y $- y^{3} x$ .

$\frac{d g}{d x} = y^{3} x - y^{3} x$

Paso 13.1.3.4

Resta $y^{3} x$ de $y^{3} x$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Paso 14

Obtén la antiderivada de $0$ y obtén $g (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 14.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Paso 14.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Paso 14.3

La integral de $0$ con respecto a $x$ es $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Paso 14.4

Suma $0$ y $C$ .

$g (x) = C$

Paso 15

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = \frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2}) + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x (x y^{3} - 2 y^{2}) + C$

Paso 16

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 16.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2} (x y^{3} - 2 y^{2}) + C$

Paso 16.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x, y) = \frac{x}{2} (x y^{3}) + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

Paso 16.3

Multiplica $\frac{x}{2} (x y^{3})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 16.3.1

Combina $x$ y $\frac{x}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x \cdot x}{2} y^{3} + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

Paso 16.3.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f (x, y) = \frac{x^{1} x}{2} y^{3} + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

Paso 16.3.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f (x, y) = \frac{x^{1} x^{1}}{2} y^{3} + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

Paso 16.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (x, y) = \frac{x^{1 + 1}}{2} y^{3} + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

Paso 16.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} y^{3} + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

Paso 16.3.6

Combina $\frac{x^{2}}{2}$ y $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{3}}{2} + \frac{x}{2} (- 2 y^{2}) + C$

Paso 16.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{3}}{2} - 2 \frac{x}{2} y^{2} + C$

Paso 16.5

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 16.5.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{3}}{2} + 2 (- 1) \frac{x}{2} y^{2} + C$

Paso 16.5.2

Cancela el factor común.

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{3}}{2} + 2 \cdot - 1 \frac{x}{2} y^{2} + C$

Paso 16.5.3

Reescribe la expresión.

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{3}}{2} - x y^{2} + C$