Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = e^{3 x} - x$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = (e^{3 x} - x) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int e^{3 x} - x d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int e^{3 x} - x d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \int e^{3 x} d x + \int - x d x$

Paso 2.3.2

Sea $u = 3 x$ . Entonces $d u = 3 d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.2.1

Deja $u = 3 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Diferencia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 2.3.2.1.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Paso 2.3.2.1.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$3$

Paso 2.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$y + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{3} d u + \int - x d x$

Paso 2.3.3

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{3} d u + \int - x d x$

Paso 2.3.4

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int e^{u} d u + \int - x d x$

Paso 2.3.5

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (e^{u} + C_{2}) + \int - x d x$

Paso 2.3.6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (e^{u} + C_{2}) - \int x d x$

Paso 2.3.7

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (e^{u} + C_{2}) - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Paso 2.3.8

Simplifica.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} e^{u} - \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} e^{3 x} - \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = \frac{1}{3} e^{3 x} - \frac{1}{2} x^{2} + K$