Cálculo Ejemplos

$(1 + \cos (2 x)) \frac{d y}{d x} = 2$ , $y (\frac{π}{4}) = 1$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Divide cada término en $(1 + \cos (2 x)) \frac{d y}{d x} = 2$ por $1 + \cos (2 x)$ y simplifica.

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Paso 1.1.1

Divide cada término en $(1 + \cos (2 x)) \frac{d y}{d x} = 2$ por $1 + \cos (2 x)$ .

$\frac{(1 + \cos (2 x)) \frac{d y}{d x}}{1 + \cos (2 x)} = \frac{2}{1 + \cos (2 x)}$

Paso 1.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1.2.1

Cancela el factor común de $1 + \cos (2 x)$ .

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Paso 1.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{(1 + \cos (2 x)) \frac{d y}{d x}}{1 + \cos (2 x)} = \frac{2}{1 + \cos (2 x)}$

Paso 1.1.2.1.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{1 + \cos (2 x)}$

Paso 1.2

Reescribe la ecuación.

$d y = \frac{2}{1 + \cos (2 x)} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int \frac{2}{1 + \cos (2 x)} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{2}{1 + \cos (2 x)} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{1 + \cos (2 x)} d x$

Paso 2.3.2

Sea $u_{1} = 2 x$ . Entonces $d u_{1} = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 2.3.2.1

Deja $u_{1} = 2 x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.3.2.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 2.3.2.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 2.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 2.3.3

Simplifica.

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Paso 2.3.3.1

Multiplica $\frac{1}{1 + \cos (u_{1})}$ por $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{(1 + \cos (u_{1})) \cdot 2} d u_{1}$

Paso 2.3.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $1 + \cos (u_{1})$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{2 (1 + \cos (u_{1}))} d u_{1}$

Paso 2.3.4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} d u_{1})$

Paso 2.3.5

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} d u_{1}$

Paso 2.3.5.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.5.2.1

Cancela el factor común.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} d u_{1}$

Paso 2.3.5.2.2

Reescribe la expresión.

$y + C_{1} = 1 \int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} d u_{1}$

Paso 2.3.5.3

Multiplica $\int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} d u_{1}$ por $1$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} d u_{1}$

Paso 2.3.6

Usa la razón del ángulo doble para transformar $\cos (x)$ a $\cos^{2} (\frac{x}{2}) - \sin^{2} (\frac{x}{2})$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{1 + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) - \sin^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Paso 2.3.7

Usa la identidad pitagórica para transformar $1$ en $\sin^{2} (\frac{u_{1}}{2}) + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sin^{2} (\frac{u_{1}}{2}) + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) - \sin^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Paso 2.3.8

Simplifica.

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Paso 2.3.8.1

Resta ${\sin (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ de ${\sin (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{{\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2} + {\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2} + 0} d u_{1}$

Paso 2.3.8.2

Suma ${\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ y ${\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 {\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2} + 0} d u_{1}$

Paso 2.3.8.3

Suma $2 {\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ y $0$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Paso 2.3.9

Multiplica el argumento por $\frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\sec^{2} (\frac{u}{2})}$

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} \cdot \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\sec^{2} (\frac{u}{2})} d u_{1}$

Paso 2.3.10

Combinar.

$y + C_{1} = \int \frac{1 \sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \sec^{2} (\frac{u}{2})} d u_{1}$

Paso 2.3.11

Multiplica ${\sec (\frac{u}{2})}^{2}$ por $1$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \sec^{2} (\frac{u}{2})} d u_{1}$

Paso 2.3.12

Reescribe $\sec (\frac{u}{2})$ en términos de senos y cosenos.

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) {(\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})})}^{2}} d u_{1}$

Paso 2.3.13

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}} d u_{1}$

Paso 2.3.14

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}} d u_{1}$

Paso 2.3.15

Multiplica $2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}$ .

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Paso 2.3.15.1

Combina $\frac{1}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}$ y $2$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\frac{2}{\cos^{2} (\frac{u}{2})} \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Paso 2.3.15.2

Combina $\frac{2}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}$ y $\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\frac{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}} d u_{1}$

Paso 2.3.16

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y + C_{1} = \int \sec^{2} (\frac{u}{2}) \frac{\cos^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Paso 2.3.17

Reescribe $\sec (\frac{u}{2})$ en términos de senos y cosenos.

$y + C_{1} = \int {(\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})})}^{2} \frac{\cos^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Paso 2.3.18

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{u}{2})} \cdot \frac{\cos^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Paso 2.3.19

Combinar.

$y + C_{1} = \int \frac{1^{2} \cos^{2} (\frac{u}{2})}{\cos^{2} (\frac{u}{2}) (2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}))} d u_{1}$

Paso 2.3.20

Cancela el factor común de $\cos^{2} (\frac{u}{2})$ .

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Paso 2.3.20.1

Cancela el factor común.

$y + C_{1} = \int \frac{1^{2} \cos^{2} (\frac{u}{2})}{\cos^{2} (\frac{u}{2}) (2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}))} d u_{1}$

Paso 2.3.20.2

Reescribe la expresión.

$y + C_{1} = \int \frac{1^{2}}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Paso 2.3.21

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Paso 2.3.22

Multiplica por $1$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 (\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \cdot 1)} d u_{1}$

Paso 2.3.23

Separa las fracciones.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Paso 2.3.24

Convierte de $\frac{1}{\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})}$ a $\sec^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \cdot (1)} \sec^{2} (\frac{u_{1}}{2}) d u_{1}$

Paso 2.3.25

Combina fracciones.

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Paso 2.3.25.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2} \sec^{2} (\frac{u_{1}}{2}) d u_{1}$

Paso 2.3.25.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sec^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\sec^{2} (\frac{u_{1}}{2})}{2} d u_{1}$

Paso 2.3.26

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sec^{2} (\frac{u_{1}}{2}) d u_{1}$

Paso 2.3.27

Sea $u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ . Entonces $d u_{2} = \frac{1}{2} d u_{1}$ , de modo que $2 d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 2.3.27.1

Deja $u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 2.3.27.1.1

Diferencia $\frac{u_{1}}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}]$

Paso 2.3.27.1.2

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $\frac{u_{1}}{2}$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Paso 2.3.27.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Paso 2.3.27.1.4

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 2.3.27.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.28

Simplifica.

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Paso 2.3.28.1

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) (1 \cdot 2) d u_{2}$

Paso 2.3.28.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) \cdot 2 d u_{2}$

Paso 2.3.28.3

Mueve $2$ a la izquierda de $\sec^{2} (u_{2})$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int 2 \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Paso 2.3.29

Dado que $2$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (2 \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2})$

Paso 2.3.30

Simplifica.

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Paso 2.3.30.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Paso 2.3.30.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.3.30.2.1

Cancela el factor común.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Paso 2.3.30.2.2

Reescribe la expresión.

$y + C_{1} = 1 \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Paso 2.3.30.3

Multiplica $\int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$ por $1$ .

$y + C_{1} = \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Paso 2.3.31

Como la derivada de $\tan (u_{2})$ es $\sec^{2} (u_{2})$ , la integral de $\sec^{2} (u_{2})$ es $\tan (u_{2})$ .

$y + C_{1} = \tan (u_{2}) + C_{2}$

Paso 2.3.32

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 2.3.32.1

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\frac{u_{1}}{2}$ .

$y + C_{1} = \tan (\frac{u_{1}}{2}) + C_{2}$

Paso 2.3.32.2

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x$ .

$y + C_{1} = \tan (\frac{2 x}{2}) + C_{2}$

Paso 2.3.33

Simplifica.

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Paso 2.3.33.1

Reduce la expresión $\frac{2 x}{2}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 2.3.33.1.1

Cancela el factor común.

$y + C_{1} = \tan (\frac{2 x}{2}) + C_{2}$

Paso 2.3.33.1.2

Reescribe la expresión.

$y + C_{1} = \tan (\frac{x}{1}) + C_{2}$

Paso 2.3.33.2

Divide $x$ por $1$ .

$y + C_{1} = \tan (x) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = \tan (x) + K$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $\frac{π}{4}$ por $x$ y de $1$ por $y$ en $y = \tan (x) + K$ .

$1 = \tan (\frac{π}{4}) + K$

Paso 4

Resuelve $K$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $\tan (\frac{π}{4}) + K = 1$ .

$\tan (\frac{π}{4}) + K = 1$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{4})$ es $1$ .

$1 + K = 1$

Paso 4.3

Mueve todos los términos que no contengan $K$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.3.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$K = 1 - 1$

Paso 4.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$K = 0$

Paso 5

Sustituye $0$ por $K$ en $y = \tan (x) + K$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $0$ por $K$ .

$y = \tan (x) + 0$

Paso 5.2

Suma $\tan (x)$ y $0$ .

$y = \tan (x)$