Cálculo Ejemplos

$(y^{5} - 4 x^{3} y^{4} - 10 x y + 2 y^{2} - 21) d x + (5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = y^{5} - 4 x^{3} y^{4} - 10 x y + 2 y^{2} - 21$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{5} - 4 x^{3} y^{4} - 10 x y + 2 y^{2} - 21]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{5} - 4 x^{3} y^{4} - 10 x y + 2 y^{2} - 21$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y^{5}] + \frac{d}{d y} [- 4 x^{3} y^{4}] + \frac{d}{d y} [- 10 x y] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 21]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{5}] + \frac{d}{d y} [- 4 x^{3} y^{4}] + \frac{d}{d y} [- 10 x y] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 21]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 5 y^{4} + \frac{d}{d y} [- 4 x^{3} y^{4}] + \frac{d}{d y} [- 10 x y] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 21]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [- 4 x^{3} y^{4}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 4 x^{3}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 4 x^{3} y^{4}$ con respecto a $y$ es $- 4 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 5 y^{4} - 4 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [- 10 x y] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 21]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 5 y^{4} - 4 x^{3} (4 y^{3}) + \frac{d}{d y} [- 10 x y] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 21]$

Paso 1.3.3

Multiplica $4$ por $- 4$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} + \frac{d}{d y} [- 10 x y] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 21]$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{d}{d y} [- 10 x y]$ .

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Paso 1.4.1

Como $- 10 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 10 x y$ con respecto a $y$ es $- 10 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} - 10 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 21]$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} - 10 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 21]$

Paso 1.4.3

Multiplica $- 10$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} - 10 x + \frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 21]$

Paso 1.5

Evalúa $\frac{d}{d y} [2 y^{2}]$ .

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Paso 1.5.1

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 y^{2}$ con respecto a $y$ es $2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} - 10 x + 2 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 21]$

Paso 1.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} - 10 x + 2 (2 y) + \frac{d}{d y} [- 21]$

Paso 1.5.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} - 10 x + 4 y + \frac{d}{d y} [- 21]$

Paso 1.6

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.6.1

Como $- 21$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 21$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} - 10 x + 4 y + 0$

Paso 1.6.2

Suma $5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} - 10 x + 4 y$ y $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} - 10 x + 4 y$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42]$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [42]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [5 x y^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [42]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x y^{4}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $5 y^{4}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x y^{4}$ con respecto a $x$ es $5 y^{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 y^{4} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [42]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 y^{4} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [42]$

Paso 2.3.3

Multiplica $5$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 y^{4} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{4} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [42]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 4 x^{4} y^{3}]$ .

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Paso 2.4.1

Como $- 4 y^{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x^{4} y^{3}$ con respecto a $x$ es $- 4 y^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 y^{4} - 4 y^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [42]$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 y^{4} - 4 y^{3} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [42]$

Paso 2.4.3

Multiplica $4$ por $- 4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 y^{4} - 16 y^{3} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [42]$

Paso 2.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

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Paso 2.5.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 y^{4} - 16 y^{3} x^{3} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [42]$

Paso 2.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 y^{4} - 16 y^{3} x^{3} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [42]$

Paso 2.5.3

Multiplica $2$ por $- 5$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 y^{4} - 16 y^{3} x^{3} - 10 x + \frac{d}{d x} [4 x y] + \frac{d}{d x} [42]$

Paso 2.6

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x y]$ .

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Paso 2.6.1

Como $4 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x y$ con respecto a $x$ es $4 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 y^{4} - 16 y^{3} x^{3} - 10 x + 4 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [42]$

Paso 2.6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 y^{4} - 16 y^{3} x^{3} - 10 x + 4 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [42]$

Paso 2.6.3

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 y^{4} - 16 y^{3} x^{3} - 10 x + 4 y + \frac{d}{d x} [42]$

Paso 2.7

Como $42$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $42$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 y^{4} - 16 y^{3} x^{3} - 10 x + 4 y + 0$

Paso 2.8

Simplifica.

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Paso 2.8.1

Suma $5 y^{4} - 16 y^{3} x^{3} - 10 x + 4 y$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 y^{4} - 16 y^{3} x^{3} - 10 x + 4 y$

Paso 2.8.2

Reordena los términos.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} - 10 x + 4 y$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} - 10 x + 4 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} - 10 x + 4 y$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} - 10 x + 4 y = 5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} - 10 x + 4 y$

Paso 3.2

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} - 10 x + 4 y = 5 y^{4} - 16 x^{3} y^{3} - 10 x + 4 y$ es una identidad.

Paso 4

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y^{5} - 4 x^{3} y^{4} - 10 x y + 2 y^{2} - 21 d x$

Paso 5

Integra $M (x, y) = y^{5} - 4 x^{3} y^{4} - 10 x y + 2 y^{2} - 21$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 5.1

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = \int y^{5} d x + \int - 4 x^{3} y^{4} d x + \int - 10 x y d x + \int 2 y^{2} d x + \int - 21 d x$

Paso 5.2

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = y^{5} x + C + \int - 4 x^{3} y^{4} d x + \int - 10 x y d x + \int 2 y^{2} d x + \int - 21 d x$

Paso 5.3

Dado que $- 4 y^{4}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 4 y^{4}$ fuera de la integral.

$f (x, y) = y^{5} x + C - 4 y^{4} \int x^{3} d x + \int - 10 x y d x + \int 2 y^{2} d x + \int - 21 d x$

Paso 5.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$f (x, y) = y^{5} x + C - 4 y^{4} (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - 10 x y d x + \int 2 y^{2} d x + \int - 21 d x$

Paso 5.5

Dado que $- 10 y$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 10 y$ fuera de la integral.

$f (x, y) = y^{5} x + C - 4 y^{4} (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 10 y \int x d x + \int 2 y^{2} d x + \int - 21 d x$

Paso 5.6

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = y^{5} x + C - 4 y^{4} (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 10 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 2 y^{2} d x + \int - 21 d x$

Paso 5.7

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = y^{5} x + C - 4 y^{4} (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 10 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 2 y^{2} x + C + \int - 21 d x$

Paso 5.8

Simplifica.

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Paso 5.8.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $x^{4}$ .

$f (x, y) = y^{5} x + C - 4 y^{4} (\frac{x^{4}}{4} + C) - 10 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 2 y^{2} x + C + \int - 21 d x$

Paso 5.8.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$f (x, y) = y^{5} x + C - 4 y^{4} (\frac{x^{4}}{4} + C) - 10 y (\frac{x^{2}}{2} + C) + 2 y^{2} x + C + \int - 21 d x$

Paso 5.9

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = y^{5} x + C - 4 y^{4} (\frac{x^{4}}{4} + C) - 10 y (\frac{x^{2}}{2} + C) + 2 y^{2} x + C - 21 x + C$

Paso 5.10

Simplifica.

$f (x, y) = y^{5} x - y^{4} x^{4} - 5 y x^{2} + 2 y^{2} x - 21 x + C$

Paso 6

Como la integral de $g (y)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = y^{5} x - y^{4} x^{4} - 5 y x^{2} + 2 y^{2} x - 21 x + g (y)$

Paso 7

Establece $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

Paso 8

Obtén $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Paso 8.1

Diferencia $f$ con respecto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{5} x - y^{4} x^{4} - 5 y x^{2} + 2 y^{2} x - 21 x + g (y)] = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

Paso 8.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y^{5} x - y^{4} x^{4} - 5 y x^{2} + 2 y^{2} x - 21 x + g (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y^{5} x] + \frac{d}{d y} [- y^{4} x^{4}] + \frac{d}{d y} [- 5 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2} x] + \frac{d}{d y} [- 21 x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{5} x] + \frac{d}{d y} [- y^{4} x^{4}] + \frac{d}{d y} [- 5 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2} x] + \frac{d}{d y} [- 21 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

Paso 8.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [y^{5} x]$ .

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Paso 8.3.1

Como $x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $y^{5} x$ con respecto a $y$ es $x \frac{d}{d y} [y^{5}]$ .

$x \frac{d}{d y} [y^{5}] + \frac{d}{d y} [- y^{4} x^{4}] + \frac{d}{d y} [- 5 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2} x] + \frac{d}{d y} [- 21 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

Paso 8.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$x (5 y^{4}) + \frac{d}{d y} [- y^{4} x^{4}] + \frac{d}{d y} [- 5 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2} x] + \frac{d}{d y} [- 21 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

Paso 8.3.3

Mueve $5$ a la izquierda de $x$ .

$5 x y^{4} + \frac{d}{d y} [- y^{4} x^{4}] + \frac{d}{d y} [- 5 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2} x] + \frac{d}{d y} [- 21 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

Paso 8.4

Evalúa $\frac{d}{d y} [- y^{4} x^{4}]$ .

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Paso 8.4.1

Como $- x^{4}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- y^{4} x^{4}$ con respecto a $y$ es $- x^{4} \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$5 x y^{4} - x^{4} \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [- 5 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2} x] + \frac{d}{d y} [- 21 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

Paso 8.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$5 x y^{4} - x^{4} (4 y^{3}) + \frac{d}{d y} [- 5 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2} x] + \frac{d}{d y} [- 21 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

Paso 8.4.3

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} + \frac{d}{d y} [- 5 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2} x] + \frac{d}{d y} [- 21 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

Paso 8.5

Evalúa $\frac{d}{d y} [- 5 y x^{2}]$ .

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Paso 8.5.1

Como $- 5 x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 5 y x^{2}$ con respecto a $y$ es $- 5 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 y^{2} x] + \frac{d}{d y} [- 21 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

Paso 8.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [2 y^{2} x] + \frac{d}{d y} [- 21 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

Paso 8.5.3

Multiplica $- 5$ por $1$ .

$5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + \frac{d}{d y} [2 y^{2} x] + \frac{d}{d y} [- 21 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

Paso 8.6

Evalúa $\frac{d}{d y} [2 y^{2} x]$ .

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Paso 8.6.1

Como $2 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 y^{2} x$ con respecto a $y$ es $2 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 2 x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 21 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

Paso 8.6.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 2 x (2 y) + \frac{d}{d y} [- 21 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

Paso 8.6.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + \frac{d}{d y} [- 21 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

Paso 8.7

Como $- 21 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 21 x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

Paso 8.8

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (y)$ es $\frac{d g}{d y}$ .

$5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 0 + \frac{d g}{d y} = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

Paso 8.9

Simplifica.

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Paso 8.9.1

Suma $5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y$ y $0$ .

$5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + \frac{d g}{d y} = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

Paso 8.9.2

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d y} - 5 x^{2} + 5 y^{4} x - 4 x^{4} y^{3} + 4 x y = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42$

Paso 9

Resuelve $\frac{d g}{d y}$

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Paso 9.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d y}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.1.1

Suma $5 x^{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} + 5 y^{4} x - 4 x^{4} y^{3} + 4 x y = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42 + 5 x^{2}$

Paso 9.1.2

Resta $5 y^{4} x$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} - 4 x^{4} y^{3} + 4 x y = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42 + 5 x^{2} - 5 y^{4} x$

Paso 9.1.3

Suma $4 x^{4} y^{3}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} + 4 x y = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42 + 5 x^{2} - 5 y^{4} x + 4 x^{4} y^{3}$

Paso 9.1.4

Resta $4 x y$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d y} = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42 + 5 x^{2} - 5 y^{4} x + 4 x^{4} y^{3} - 4 x y$

Paso 9.1.5

Combina los términos opuestos en $5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} - 5 x^{2} + 4 x y + 42 + 5 x^{2} - 5 y^{4} x + 4 x^{4} y^{3} - 4 x y$ .

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Paso 9.1.5.1

Suma $- 5 x^{2}$ y $5 x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} + 4 x y + 42 + 0 - 5 y^{4} x + 4 x^{4} y^{3} - 4 x y$

Paso 9.1.5.2

Suma $5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} + 4 x y + 42$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 5 x y^{4} - 4 x^{4} y^{3} + 4 x y + 42 - 5 y^{4} x + 4 x^{4} y^{3} - 4 x y$

Paso 9.1.5.3

Reordena los factores en los términos $5 x y^{4}$ y $- 5 y^{4} x$ .

$\frac{d g}{d y} = 5 y^{4} x - 4 x^{4} y^{3} + 4 x y + 42 - 5 y^{4} x + 4 x^{4} y^{3} - 4 x y$

Paso 9.1.5.4

Resta $5 y^{4} x$ de $5 y^{4} x$ .

$\frac{d g}{d y} = - 4 x^{4} y^{3} + 4 x y + 42 + 0 + 4 x^{4} y^{3} - 4 x y$

Paso 9.1.5.5

Suma $- 4 x^{4} y^{3} + 4 x y + 42$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 4 x^{4} y^{3} + 4 x y + 42 + 4 x^{4} y^{3} - 4 x y$

Paso 9.1.5.6

Suma $- 4 x^{4} y^{3}$ y $4 x^{4} y^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} = 4 x y + 42 + 0 - 4 x y$

Paso 9.1.5.7

Suma $4 x y + 42$ y $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 4 x y + 42 - 4 x y$

Paso 9.1.5.8

Resta $4 x y$ de $4 x y$ .

$\frac{d g}{d y} = 0 + 42$

Paso 9.1.5.9

Suma $0$ y $42$ .

$\frac{d g}{d y} = 42$

Paso 10

Obtén la antiderivada de $42$ y obtén $g (y)$ .

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Paso 10.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d y} = 42$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 42 d y$

Paso 10.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 42 d y$

Paso 10.3

Aplica la regla de la constante.

$g (y) = 42 y + C$

Paso 11

Sustituye por $g (y)$ en $f (x, y) = y^{5} x - y^{4} x^{4} - 5 y x^{2} + 2 y^{2} x - 21 x + g (y)$ .

$f (x, y) = y^{5} x - y^{4} x^{4} - 5 y x^{2} + 2 y^{2} x - 21 x + 42 y + C$