Cálculo Ejemplos

$\frac{d u}{d r} = \frac{1 + \sqrt{r}}{1 + \sqrt{u}}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $1 + \sqrt{u}$ .

$(1 + \sqrt{u}) \frac{d u}{d r} = (1 + \sqrt{u}) \frac{1 + \sqrt{r}}{1 + \sqrt{u}}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $1 + \sqrt{u}$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$(1 + \sqrt{u}) \frac{d u}{d r} = (1 + \sqrt{u}) \frac{1 + \sqrt{r}}{1 + \sqrt{u}}$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$(1 + \sqrt{u}) \frac{d u}{d r} = 1 + \sqrt{r}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$(1 + \sqrt{u}) d u = (1 + \sqrt{r}) d r$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int 1 + \sqrt{u} d u = \int 1 + \sqrt{r} d r$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int d u + \int \sqrt{u} d u = \int 1 + \sqrt{r} d r$

Paso 2.2.2

Aplica la regla de la constante.

$u + C_{1} + \int \sqrt{u} d u = \int 1 + \sqrt{r} d r$

Paso 2.2.3

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$u + C_{1} + \int u^{\frac{1}{2}} d u = \int 1 + \sqrt{r} d r$

Paso 2.2.4

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$u + C_{1} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2} = \int 1 + \sqrt{r} d r$

Paso 2.2.5

Simplifica.

$u + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{3} = \int 1 + \sqrt{r} d r$

Paso 2.2.6

Reordena los términos.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + u + C_{3} = \int 1 + \sqrt{r} d r$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + u + C_{3} = \int d r + \int \sqrt{r} d r$

Paso 2.3.2

Aplica la regla de la constante.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + u + C_{3} = r + C_{4} + \int \sqrt{r} d r$

Paso 2.3.3

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{r}$ como $r^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + u + C_{3} = r + C_{4} + \int r^{\frac{1}{2}} d r$

Paso 2.3.4

Según la regla de la potencia, la integral de $r^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $r$ es $\frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + u + C_{3} = r + C_{4} + \frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + C_{5}$

Paso 2.3.5

Simplifica.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + u + C_{3} = r + \frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + C_{6}$

Paso 2.3.6

Reordena los términos.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + u + C_{3} = \frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + r + C_{6}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + u = \frac{2}{3} r^{\frac{3}{2}} + r + K$