Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d t} = y + t^{3}$

Paso 1

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d t} - y = t^{3}$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (t) d t}$ , donde $P (t) = - 1$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int - 1 d t}$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$e^{- t + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{- t}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{- t}$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $e^{- t}$ .

$e^{- t} \frac{d y}{d t} + e^{- t} (- y) = e^{- t} t^{3}$

Paso 3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{- t} \frac{d y}{d t} - e^{- t} y = e^{- t} t^{3}$

Paso 3.3

Reordena los factores en $e^{- t} \frac{d y}{d t} - e^{- t} y = e^{- t} t^{3}$ .

$e^{- t} \frac{d y}{d t} - y e^{- t} = t^{3} e^{- t}$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d t} [e^{- t} y] = t^{3} e^{- t}$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d t} [e^{- t} y] d t = \int t^{3} e^{- t} d t$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$e^{- t} y = \int t^{3} e^{- t} d t$

Paso 7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = t^{3}$ y $d v = e^{- t}$ .

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) - \int - e^{- t} (3 t^{2}) d t$

Paso 7.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) - \int - 3 e^{- t} t^{2} d t$

Paso 7.3

Dado que $- 3$ es constante con respecto a $t$ , mueve $- 3$ fuera de la integral.

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) - (- 3 \int e^{- t} t^{2} d t)$

Paso 7.4

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 \int e^{- t} t^{2} d t$

Paso 7.5

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = t^{2}$ y $d v = e^{- t}$ .

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) - \int - e^{- t} (2 t) d t)$

Paso 7.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) - \int - 2 e^{- t} t d t)$

Paso 7.7

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $t$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) - (- 2 \int e^{- t} t d t))$

Paso 7.8

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 \int e^{- t} t d t)$

Paso 7.9

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = t$ y $d v = e^{- t}$ .

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - \int - e^{- t} d t))$

Paso 7.10

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $t$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - - \int e^{- t} d t))$

Paso 7.11

Simplifica.

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Paso 7.11.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) + 1 \int e^{- t} d t))$

Paso 7.11.2

Multiplica $\int e^{- t} d t$ por $1$ .

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) + \int e^{- t} d t))$

Paso 7.12

Sea $u = - t$ . Entonces $d u = - d t$ , de modo que $- d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 7.12.1

Deja $u = - t$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 7.12.1.1

Diferencia $- t$ .

$\frac{d}{d t} [- t]$

Paso 7.12.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- t$ con respecto a $t$ es $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{d}{d t} [t]$

Paso 7.12.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 7.12.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 7.12.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) + \int - e^{u} d u))$

Paso 7.13

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - \int e^{u} d u))$

Paso 7.14

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$e^{- t} y = t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - (e^{u} + C)))$

Paso 7.15

Reescribe $t^{3} (- e^{- t}) + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - (e^{u} + C)))$ como $- t^{3} e^{- t} + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - e^{u})) + C$ .

$e^{- t} y = - t^{3} e^{- t} + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - e^{u})) + C$

Paso 7.16

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- t$ .

$e^{- t} y = - t^{3} e^{- t} + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - e^{- t})) + C$

Paso 8

Divide cada término en $e^{- t} y = - t^{3} e^{- t} + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - e^{- t})) + C$ por $e^{- t}$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $e^{- t} y = - t^{3} e^{- t} + 3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - e^{- t})) + C$ por $e^{- t}$ .

$\frac{e^{- t} y}{e^{- t}} = \frac{- t^{3} e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - e^{- t}))}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $e^{- t}$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{- t} y}{e^{- t}} = \frac{- t^{3} e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - e^{- t}))}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Paso 8.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- t^{3} e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - e^{- t}))}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.3.1.1

Cancela el factor común de $e^{- t}$ .

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Paso 8.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{- t^{3} e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - e^{- t}))}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Paso 8.3.1.1.2

Divide $- t^{3}$ por $1$ .

$y = - t^{3} + \frac{3 (t^{2} (- e^{- t}) + 2 (t (- e^{- t}) - e^{- t}))}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Paso 8.3.1.2

Simplifica el numerador.

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Paso 8.3.1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y = - t^{3} + \frac{3 (- t^{2} e^{- t} + 2 (t (- e^{- t}) - e^{- t}))}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Paso 8.3.1.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$y = - t^{3} + \frac{3 (- t^{2} e^{- t} + 2 (- t e^{- t} - e^{- t}))}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Paso 8.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - t^{3} + \frac{3 (- t^{2} e^{- t} + 2 (- t e^{- t}) + 2 (- e^{- t}))}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Paso 8.3.1.2.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$y = - t^{3} + \frac{3 (- t^{2} e^{- t} - 2 (t e^{- t}) + 2 (- e^{- t}))}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Paso 8.3.1.2.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$y = - t^{3} + \frac{3 (- t^{2} e^{- t} - 2 (t e^{- t}) - 2 e^{- t})}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Paso 8.3.1.2.6

Factoriza $e^{- t}$ de $- t^{2} e^{- t} - 2 t e^{- t} - 2 e^{- t}$ .

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Paso 8.3.1.2.6.1

Factoriza $e^{- t}$ de $- t^{2} e^{- t}$ .

$y = - t^{3} + \frac{3 (e^{- t} (- t^{2}) - 2 t e^{- t} - 2 e^{- t})}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Paso 8.3.1.2.6.2

Factoriza $e^{- t}$ de $- 2 t e^{- t}$ .

$y = - t^{3} + \frac{3 (e^{- t} (- t^{2}) + e^{- t} (- 2 t) - 2 e^{- t})}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Paso 8.3.1.2.6.3

Factoriza $e^{- t}$ de $- 2 e^{- t}$ .

$y = - t^{3} + \frac{3 (e^{- t} (- t^{2}) + e^{- t} (- 2 t) + e^{- t} \cdot - 2)}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Paso 8.3.1.2.6.4

Factoriza $e^{- t}$ de $e^{- t} (- t^{2}) + e^{- t} (- 2 t)$ .

$y = - t^{3} + \frac{3 (e^{- t} (- t^{2} - 2 t) + e^{- t} \cdot - 2)}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Paso 8.3.1.2.6.5

Factoriza $e^{- t}$ de $e^{- t} (- t^{2} - 2 t) + e^{- t} \cdot - 2$ .

$y = - t^{3} + \frac{3 (e^{- t} (- t^{2} - 2 t - 2))}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

$y = - t^{3} + \frac{3 e^{- t} (- t^{2} - 2 t - 2)}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Paso 8.3.1.3

Cancela el factor común de $e^{- t}$ .

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Paso 8.3.1.3.1

Cancela el factor común.

$y = - t^{3} + \frac{3 e^{- t} (- t^{2} - 2 t - 2)}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Paso 8.3.1.3.2

Divide $3 (- t^{2} - 2 t - 2)$ por $1$ .

$y = - t^{3} + 3 (- t^{2} - 2 t - 2) + \frac{C}{e^{- t}}$

Paso 8.3.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - t^{3} + 3 (- t^{2}) + 3 (- 2 t) + 3 \cdot - 2 + \frac{C}{e^{- t}}$

Paso 8.3.1.5

Simplifica.

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Paso 8.3.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$y = - t^{3} - 3 t^{2} + 3 (- 2 t) + 3 \cdot - 2 + \frac{C}{e^{- t}}$

Paso 8.3.1.5.2

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$y = - t^{3} - 3 t^{2} - 6 t + 3 \cdot - 2 + \frac{C}{e^{- t}}$

Paso 8.3.1.5.3

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$y = - t^{3} - 3 t^{2} - 6 t - 6 + \frac{C}{e^{- t}}$