Cálculo Ejemplos

$\frac{d s}{d t} = \ln (t) + 4 t$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d s = (\ln (t) + 4 t) d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d s = \int \ln (t) + 4 t d t$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$s + C_{1} = \int \ln (t) + 4 t d t$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$s + C_{1} = \int \ln (t) d t + \int 4 t d t$

Paso 2.3.2

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = \ln (t)$ y $d v = 1$ .

$s + C_{1} = \ln (t) t - \int t \frac{1}{t} d t + \int 4 t d t$

Paso 2.3.3

Simplifica.

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Paso 2.3.3.1

Combina $t$ y $\frac{1}{t}$ .

$s + C_{1} = \ln (t) t - \int \frac{t}{t} d t + \int 4 t d t$

Paso 2.3.3.2

Cancela el factor común de $t$ .

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Paso 2.3.3.2.1

Cancela el factor común.

$s + C_{1} = \ln (t) t - \int \frac{t}{t} d t + \int 4 t d t$

Paso 2.3.3.2.2

Reescribe la expresión.

$s + C_{1} = \ln (t) t - \int d t + \int 4 t d t$

Paso 2.3.4

Aplica la regla de la constante.

$s + C_{1} = \ln (t) t - (t + C_{2}) + \int 4 t d t$

Paso 2.3.5

Dado que $4$ es constante con respecto a $t$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$s + C_{1} = \ln (t) t - (t + C_{2}) + 4 \int t d t$

Paso 2.3.6

Según la regla de la potencia, la integral de $t$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$s + C_{1} = \ln (t) t - (t + C_{2}) + 4 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{3})$

Paso 2.3.7

Simplifica.

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Paso 2.3.7.1

Simplifica.

$s + C_{1} = \ln (t) t - t + 4 (\frac{1}{2}) t^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.7.2

Simplifica.

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Paso 2.3.7.2.1

Combina $4$ y $\frac{1}{2}$ .

$s + C_{1} = \ln (t) t - t + \frac{4}{2} t^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.7.2.2

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 2.3.7.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$s + C_{1} = \ln (t) t - t + \frac{2 \cdot 2}{2} t^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.7.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.7.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$s + C_{1} = \ln (t) t - t + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} t^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.7.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$s + C_{1} = \ln (t) t - t + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} t^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.7.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$s + C_{1} = \ln (t) t - t + \frac{2}{1} t^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.7.2.2.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$s + C_{1} = \ln (t) t - t + 2 t^{2} + C_{4}$

Paso 2.3.8

Reordena los términos.

$s + C_{1} = 2 t^{2} + t \ln (t) - t + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$s = 2 t^{2} + t \ln (t) - t + K$