Cálculo Ejemplos

$2 (2 y^{2} + 5 x y - 2 y + 4) d x + x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = 2 (2 y^{2} + 5 x y - 2 y + 4)$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 (2 y^{2} + 5 x y - 2 y + 4)]$

Paso 1.2

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 (2 y^{2} + 5 x y - 2 y + 4)$ con respecto a $y$ es $2 \frac{d}{d y} [2 y^{2} + 5 x y - 2 y + 4]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \frac{d}{d y} [2 y^{2} + 5 x y - 2 y + 4]$

Paso 1.3

Según la regla de la suma, la derivada de $2 y^{2} + 5 x y - 2 y + 4$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [5 x y] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [4]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (\frac{d}{d y} [2 y^{2}] + \frac{d}{d y} [5 x y] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [4])$

Paso 1.4

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 y^{2}$ con respecto a $y$ es $2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [5 x y] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [4])$

Paso 1.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 (2 y) + \frac{d}{d y} [5 x y] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [4])$

Paso 1.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (4 y + \frac{d}{d y} [5 x y] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [4])$

Paso 1.7

Como $5 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $5 x y$ con respecto a $y$ es $5 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (4 y + 5 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [4])$

Paso 1.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (4 y + 5 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [4])$

Paso 1.9

Multiplica $5$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (4 y + 5 x + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [4])$

Paso 1.10

Como $- 2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 2 y$ con respecto a $y$ es $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (4 y + 5 x - 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [4])$

Paso 1.11

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (4 y + 5 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [4])$

Paso 1.12

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (4 y + 5 x - 2 + \frac{d}{d y} [4])$

Paso 1.13

Como $4$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $4$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (4 y + 5 x - 2 + 0)$

Paso 1.14

Suma $4 y + 5 x - 2$ y $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (4 y + 5 x - 2)$

Paso 1.15

Simplifica.

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Paso 1.15.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (4 y) + 2 (5 x) + 2 \cdot - 2$

Paso 1.15.2

Combina los términos.

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Paso 1.15.2.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 8 y + 2 (5 x) + 2 \cdot - 2$

Paso 1.15.2.2

Multiplica $5$ por $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 8 y + 10 x + 2 \cdot - 2$

Paso 1.15.2.3

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 8 y + 10 x - 4$

Paso 1.15.3

Reordena los términos.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 10 x + 8 y - 4$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = x (2 x + 2 y - 1)$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (2 x + 2 y - 1)]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = 2 x + 2 y - 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [2 x + 2 y - 1] + (2 x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3

Diferencia.

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Paso 2.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 2 y - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (2 + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.5

Como $2 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 y$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (2 + 0 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.6

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (2 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.7

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (2 + 0) + (2 x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.8

Simplifica la expresión.

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Paso 2.3.8.1

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cdot 2 + (2 x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.8.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \cdot x + (2 x + 2 y - 1) \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + (2 x + 2 y - 1) \cdot 1$

Paso 2.3.10

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.3.10.1

Multiplica $2 x + 2 y - 1$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 x + 2 y - 1$

Paso 2.3.10.2

Suma $2 x$ y $2 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x + 2 y - 1$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $10 x + 8 y - 4$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $4 x + 2 y - 1$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$10 x + 8 y - 4 = 4 x + 2 y - 1$

Paso 3.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$10 x + 8 y - 4 = 4 x + 2 y - 1$ no es una identidad.

Paso 4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $10 x + 8 y - 4$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{10 x + 8 y - 4 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Paso 4.2

Sustituye $4 x + 2 y - 1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{10 x + 8 y - 4 - (4 x + 2 y - 1)}{N}$

Paso 4.3

Sustituye $x (2 x + 2 y - 1)$ por $N$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $x (2 x + 2 y - 1)$ por $N$ .

$\frac{10 x + 8 y - 4 - (4 x + 2 y - 1)}{x (2 x + 2 y - 1)}$

Paso 4.3.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{10 x + 8 y - 4 - (4 x) - (2 y) - - 1}{x (2 x + 2 y - 1)}$

Paso 4.3.2.2

Simplifica.

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Paso 4.3.2.2.1

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{10 x + 8 y - 4 - 4 x - (2 y) - - 1}{x (2 x + 2 y - 1)}$

Paso 4.3.2.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{10 x + 8 y - 4 - 4 x - 2 y - - 1}{x (2 x + 2 y - 1)}$

Paso 4.3.2.2.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{10 x + 8 y - 4 - 4 x - 2 y + 1}{x (2 x + 2 y - 1)}$

Paso 4.3.2.3

Resta $4 x$ de $10 x$ .

$\frac{6 x + 8 y - 4 - 2 y + 1}{x (2 x + 2 y - 1)}$

Paso 4.3.2.4

Resta $2 y$ de $8 y$ .

$\frac{6 x + 6 y - 4 + 1}{x (2 x + 2 y - 1)}$

Paso 4.3.2.5

Suma $- 4$ y $1$ .

$\frac{6 x + 6 y - 3}{x (2 x + 2 y - 1)}$

Paso 4.3.2.6

Factoriza $3$ de $6 x + 6 y - 3$ .

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Paso 4.3.2.6.1

Factoriza $3$ de $6 x$ .

$\frac{3 (2 x) + 6 y - 3}{x (2 x + 2 y - 1)}$

Paso 4.3.2.6.2

Factoriza $3$ de $6 y$ .

$\frac{3 (2 x) + 3 (2 y) - 3}{x (2 x + 2 y - 1)}$

Paso 4.3.2.6.3

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$\frac{3 (2 x) + 3 (2 y) + 3 (- 1)}{x (2 x + 2 y - 1)}$

Paso 4.3.2.6.4

Factoriza $3$ de $3 (2 x) + 3 (2 y)$ .

$\frac{3 (2 x + 2 y) + 3 (- 1)}{x (2 x + 2 y - 1)}$

Paso 4.3.2.6.5

Factoriza $3$ de $3 (2 x + 2 y) + 3 (- 1)$ .

$\frac{3 (2 x + 2 y - 1)}{x (2 x + 2 y - 1)}$

Paso 4.3.3

Cancela el factor común de $2 x + 2 y - 1$ .

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Paso 4.3.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 (2 x + 2 y - 1)}{x (2 x + 2 y - 1)}$

Paso 4.3.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{x}$

Paso 4.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{3}{x} d x}$

Paso 5

Evalúa la integral $e^{\int \frac{3}{x} d x}$ .

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Paso 5.1

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{3 \int \frac{1}{x} d x}$

Paso 5.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{3 (\ln (| x |) + C)}$

Paso 5.3

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{3 \ln (| x |)} + C$

Paso 5.4

Simplifica cada término.

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Paso 5.4.1

Simplifica $3 \ln (| x |)$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{3})} + C$

Paso 5.4.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$μ (x, y) = {| x |}^{3} + C$

Paso 6

Multiplica ambos lados de $2 (2 y^{2} + 5 x y - 2 y + 4) d x + x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$ por el factor integrador $x^{3}$ .

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Paso 6.1

Multiplica $2 (2 y^{2} + 5 x y - 2 y + 4)$ por $x^{3}$ .

$2 (2 y^{2} + 5 x y - 2 y + 4) x^{3} d x + x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

Paso 6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(2 (2 y^{2}) + 2 (5 x y) + 2 (- 2 y) + 2 \cdot 4) x^{3} d x + x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

Paso 6.3

Simplifica.

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Paso 6.3.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$(4 y^{2} + 2 (5 x y) + 2 (- 2 y) + 2 \cdot 4) x^{3} d x + x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

Paso 6.3.2

Multiplica $5$ por $2$ .

$(4 y^{2} + 10 (x y) + 2 (- 2 y) + 2 \cdot 4) x^{3} d x + x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

Paso 6.3.3

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$(4 y^{2} + 10 (x y) - 4 y + 2 \cdot 4) x^{3} d x + x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

Paso 6.3.4

Multiplica $2$ por $4$ .

$(4 y^{2} + 10 (x y) - 4 y + 8) x^{3} d x + x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

Paso 6.4

Aplica la propiedad distributiva.

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x y x^{3} - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

Paso 6.5

Multiplica $x$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.5.1

Mueve $x^{3}$ .

$(4 y^{2} x^{3} + 10 (x^{3} x) y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

Paso 6.5.2

Multiplica $x^{3}$ por $x$ .

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Paso 6.5.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$(4 y^{2} x^{3} + 10 (x^{3} x^{1}) y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

Paso 6.5.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{3 + 1} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

Paso 6.5.3

Suma $3$ y $1$ .

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

Paso 6.6

Multiplica $x (2 x + 2 y - 1)$ por $x^{3}$ .

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + x (2 x + 2 y - 1) x^{3} d y = 0$

Paso 6.7

Multiplica $x$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.7.1

Mueve $x^{3}$ .

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + x^{3} x (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

Paso 6.7.2

Multiplica $x^{3}$ por $x$ .

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Paso 6.7.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + x^{3} x^{1} (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

Paso 6.7.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + x^{3 + 1} (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

Paso 6.7.3

Suma $3$ y $1$ .

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + x^{4} (2 x + 2 y - 1) d y = 0$

Paso 6.8

Aplica la propiedad distributiva.

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + (x^{4} (2 x) + x^{4} (2 y) + x^{4} \cdot - 1) d y = 0$

Paso 6.9

Simplifica.

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Paso 6.9.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + (2 x^{4} x + x^{4} (2 y) + x^{4} \cdot - 1) d y = 0$

Paso 6.9.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + (2 x^{4} x + 2 x^{4} y + x^{4} \cdot - 1) d y = 0$

Paso 6.9.3

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x^{4}$ .

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + (2 x^{4} x + 2 x^{4} y - 1 \cdot x^{4}) d y = 0$

Paso 6.10

Simplifica cada término.

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Paso 6.10.1

Multiplica $x^{4}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.10.1.1

Mueve $x$ .

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + (2 (x \cdot x^{4}) + 2 x^{4} y - 1 \cdot x^{4}) d y = 0$

Paso 6.10.1.2

Multiplica $x$ por $x^{4}$ .

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Paso 6.10.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + (2 (x^{1} x^{4}) + 2 x^{4} y - 1 \cdot x^{4}) d y = 0$

Paso 6.10.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + (2 x^{1 + 4} + 2 x^{4} y - 1 \cdot x^{4}) d y = 0$

Paso 6.10.1.3

Suma $1$ y $4$ .

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + (2 x^{5} + 2 x^{4} y - 1 \cdot x^{4}) d y = 0$

Paso 6.10.2

Reescribe $- 1 x^{4}$ como $- x^{4}$ .

$(4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}) d x + (2 x^{5} + 2 x^{4} y - x^{4}) d y = 0$

Paso 7

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x^{5} + 2 x^{4} y - x^{4} d y$

Paso 8

Integra $N (x, y) = 2 x^{5} + 2 x^{4} y - x^{4}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 8.1

Divide la única integral en varias integrales.

$f (x, y) = \int 2 x^{5} d y + \int 2 x^{4} y d y + \int - x^{4} d y$

Paso 8.2

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = 2 x^{5} y + C + \int 2 x^{4} y d y + \int - x^{4} d y$

Paso 8.3

Dado que $2 x^{4}$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2 x^{4}$ fuera de la integral.

$f (x, y) = 2 x^{5} y + C + 2 x^{4} \int y d y + \int - x^{4} d y$

Paso 8.4

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = 2 x^{5} y + C + 2 x^{4} (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int - x^{4} d y$

Paso 8.5

Aplica la regla de la constante.

$f (x, y) = 2 x^{5} y + C + 2 x^{4} (\frac{1}{2} y^{2} + C) - x^{4} y + C$

Paso 8.6

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$f (x, y) = 2 x^{5} y + C + 2 x^{4} (\frac{y^{2}}{2} + C) - x^{4} y + C$

Paso 8.7

Simplifica.

$f (x, y) = 2 x^{5} y + x^{4} y^{2} - x^{4} y + C$

Paso 9

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = 2 x^{5} y + x^{4} y^{2} - x^{4} y + g (x)$

Paso 10

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

Paso 11

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Paso 11.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{5} y + x^{4} y^{2} - x^{4} y + g (x)] = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

Paso 11.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{5} y + x^{4} y^{2} - x^{4} y + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{5} y] + \frac{d}{d x} [x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{5} y] + \frac{d}{d x} [x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

Paso 11.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{5} y]$ .

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Paso 11.3.1

Como $2 y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{5} y$ con respecto a $x$ es $2 y \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$2 y \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

Paso 11.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$2 y (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

Paso 11.3.3

Multiplica $5$ por $2$ .

$10 y x^{4} + \frac{d}{d x} [x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

Paso 11.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{4} y^{2}]$ .

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Paso 11.4.1

Como $y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $x^{4} y^{2}$ con respecto a $x$ es $y^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$10 y x^{4} + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{4} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

Paso 11.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$10 y x^{4} + y^{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- x^{4} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

Paso 11.4.3

Mueve $4$ a la izquierda de $y^{2}$ .

$10 y x^{4} + 4 y^{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{4} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

Paso 11.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x^{4} y]$ .

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Paso 11.5.1

Como $- y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{4} y$ con respecto a $x$ es $- y \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$10 y x^{4} + 4 y^{2} x^{3} - y \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

Paso 11.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$10 y x^{4} + 4 y^{2} x^{3} - y (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

Paso 11.5.3

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$10 y x^{4} + 4 y^{2} x^{3} - 4 y x^{3} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

Paso 11.6

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$10 y x^{4} + 4 y^{2} x^{3} - 4 y x^{3} + \frac{d g}{d x} = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

Paso 11.7

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d x} + 10 x^{4} y + 4 x^{3} y^{2} - 4 x^{3} y = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$

Paso 12

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 12.1

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 12.1.1

Resta $10 x^{4} y$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} + 4 x^{3} y^{2} - 4 x^{3} y = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3} - 10 x^{4} y$

Paso 12.1.2

Resta $4 x^{3} y^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} - 4 x^{3} y = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3} - 10 x^{4} y - 4 x^{3} y^{2}$

Paso 12.1.3

Suma $4 x^{3} y$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} = 4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3} - 10 x^{4} y - 4 x^{3} y^{2} + 4 x^{3} y$

Paso 12.1.4

Combina los términos opuestos en $4 y^{2} x^{3} + 10 x^{4} y - 4 y x^{3} + 8 x^{3} - 10 x^{4} y - 4 x^{3} y^{2} + 4 x^{3} y$ .

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Paso 12.1.4.1

Resta $10 x^{4} y$ de $10 x^{4} y$ .

$\frac{d g}{d x} = 4 y^{2} x^{3} - 4 y x^{3} + 8 x^{3} + 0 - 4 x^{3} y^{2} + 4 x^{3} y$

Paso 12.1.4.2

Suma $4 y^{2} x^{3} - 4 y x^{3} + 8 x^{3}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 4 y^{2} x^{3} - 4 y x^{3} + 8 x^{3} - 4 x^{3} y^{2} + 4 x^{3} y$

Paso 12.1.4.3

Reordena los factores en los términos $4 y^{2} x^{3}$ y $- 4 x^{3} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = 4 x^{3} y^{2} - 4 y x^{3} + 8 x^{3} - 4 x^{3} y^{2} + 4 x^{3} y$

Paso 12.1.4.4

Resta $4 x^{3} y^{2}$ de $4 x^{3} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = - 4 y x^{3} + 8 x^{3} + 0 + 4 x^{3} y$

Paso 12.1.4.5

Suma $- 4 y x^{3} + 8 x^{3}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - 4 y x^{3} + 8 x^{3} + 4 x^{3} y$

Paso 12.1.4.6

Reordena los factores en los términos $- 4 y x^{3}$ y $4 x^{3} y$ .

$\frac{d g}{d x} = - 4 x^{3} y + 8 x^{3} + 4 x^{3} y$

Paso 12.1.4.7

Suma $- 4 x^{3} y$ y $4 x^{3} y$ .

$\frac{d g}{d x} = 8 x^{3} + 0$

Paso 12.1.4.8

Suma $8 x^{3}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 8 x^{3}$

Paso 13

Obtén la antiderivada de $8 x^{3}$ y obtén $g (x)$ .

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Paso 13.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = 8 x^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 8 x^{3} d x$

Paso 13.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 8 x^{3} d x$

Paso 13.3

Dado que $8$ es constante con respecto a $x$ , mueve $8$ fuera de la integral.

$g (x) = 8 \int x^{3} d x$

Paso 13.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$g (x) = 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Paso 13.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 13.5.1

Reescribe $8 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ como $8 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$ .

$g (x) = 8 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$

Paso 13.5.2

Simplifica.

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Paso 13.5.2.1

Combina $8$ y $\frac{1}{4}$ .

$g (x) = \frac{8}{4} x^{4} + C$

Paso 13.5.2.2

Cancela el factor común de $8$ y $4$ .

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Paso 13.5.2.2.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$g (x) = \frac{4 \cdot 2}{4} x^{4} + C$

Paso 13.5.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 13.5.2.2.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$g (x) = \frac{4 \cdot 2}{4 (1)} x^{4} + C$

Paso 13.5.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$g (x) = \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1} x^{4} + C$

Paso 13.5.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$g (x) = \frac{2}{1} x^{4} + C$

Paso 13.5.2.2.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$g (x) = 2 x^{4} + C$

Paso 14

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = 2 x^{5} y + x^{4} y^{2} - x^{4} y + g (x)$ .

$f (x, y) = 2 x^{5} y + x^{4} y^{2} - x^{4} y + 2 x^{4} + C$