Cálculo Ejemplos

$x v d v - (1 + v^{2}) d x = 0$

Paso 1

Suma $(1 + v^{2}) d x$ a ambos lados de la ecuación.

$x v d v = (1 + v^{2}) d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{x (1 + v^{2})}$ .

$\frac{1}{x (1 + v^{2})} (x v) d v = \frac{1}{x (1 + v^{2})} (1 + v^{2}) d x$

Paso 3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Cancela el factor común de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1

Factoriza $x$ de $x v$ .

$\frac{1}{x (1 + v^{2})} (x (v)) d v = \frac{1}{x (1 + v^{2})} (1 + v^{2}) d x$

Paso 3.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{x (1 + v^{2})} (x v) d v = \frac{1}{x (1 + v^{2})} (1 + v^{2}) d x$

Paso 3.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{1 + v^{2}} v d v = \frac{1}{x (1 + v^{2})} (1 + v^{2}) d x$

Paso 3.2

Combina $\frac{1}{1 + v^{2}}$ y $v$ .

$\frac{v}{1 + v^{2}} d v = \frac{1}{x (1 + v^{2})} (1 + v^{2}) d x$

Paso 3.3

Cancela el factor común de $1 + v^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Factoriza $1 + v^{2}$ de $x (1 + v^{2})$ .

$\frac{v}{1 + v^{2}} d v = \frac{1}{(1 + v^{2}) x} (1 + v^{2}) d x$

Paso 3.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{v}{1 + v^{2}} d v = \frac{1}{(1 + v^{2}) x} (1 + v^{2}) d x$

Paso 3.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{v}{1 + v^{2}} d v = \frac{1}{x} d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{v}{1 + v^{2}} d v = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2

Integra el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Sea $u = 1 + v^{2}$ . Entonces $d u = 2 v d v$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = v d v$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.1

Deja $u = 1 + v^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d v}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1.1.1

Diferencia $1 + v^{2}$ .

$\frac{d}{d v} [1 + v^{2}]$

Paso 4.2.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + v^{2}$ con respecto a $v$ es $\frac{d}{d v} [1] + \frac{d}{d v} [v^{2}]$ .

$\frac{d}{d v} [1] + \frac{d}{d v} [v^{2}]$

Paso 4.2.1.1.3

Como $1$ es constante con respecto a $v$ , la derivada de $1$ con respecto a $v$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d v} [v^{2}]$

Paso 4.2.1.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ es $n v^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 + 2 v$

Paso 4.2.1.1.5

Suma $0$ y $2 v$ .

$2 v$

Paso 4.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.2.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.4

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.5

Simplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 4.2.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + v^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + v^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 4.3

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + v^{2} |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + v^{2} |) = \ln (| x |) + C$

Paso 5

Resuelve $v$

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + v^{2} |)) = 2 (\ln (| x |) + C)$

Paso 5.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + v^{2} |))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $\ln (| 1 + v^{2} |)$ .

$2 \frac{\ln (| 1 + v^{2} |)}{2} = 2 (\ln (| x |) + C)$

Paso 5.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{\ln (| 1 + v^{2} |)}{2} = 2 (\ln (| x |) + C)$

Paso 5.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\ln (| 1 + v^{2} |) = 2 (\ln (| x |) + C)$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (| 1 + v^{2} |) = 2 \ln (| x |) + 2 C$

Paso 5.3

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| 1 + v^{2} |) - 2 \ln (| x |) = 2 C$

Paso 5.4

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.1

Simplifica $\ln (| 1 + v^{2} |) - 2 \ln (| x |)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.1.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.4.1.1.1

Simplifica $- 2 \ln (| x |)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\ln (| 1 + v^{2} |) - \ln ({| x |}^{2}) = 2 C$

Paso 5.4.1.1.2

Elimina el valor absoluto en ${| x |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$\ln (| 1 + v^{2} |) - \ln (x^{2}) = 2 C$

Paso 5.4.1.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 + v^{2} |}{x^{2}}) = 2 C$

Paso 5.5

Para resolver $v$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| 1 + v^{2} |}{x^{2}})} = e^{2 C}$

Paso 5.6

Reescribe $\ln (\frac{| 1 + v^{2} |}{x^{2}}) = 2 C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = \frac{| 1 + v^{2} |}{x^{2}}$

Paso 5.7

Resuelve $v$

Toca para ver más pasos...

Paso 5.7.1

Reescribe la ecuación como $\frac{| 1 + v^{2} |}{x^{2}} = e^{2 C}$ .

$\frac{| 1 + v^{2} |}{x^{2}} = e^{2 C}$

Paso 5.7.2

Multiplica ambos lados por $x^{2}$ .

$\frac{| 1 + v^{2} |}{x^{2}} x^{2} = e^{2 C} x^{2}$

Paso 5.7.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.7.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.7.3.1.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.7.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{| 1 + v^{2} |}{x^{2}} x^{2} = e^{2 C} x^{2}$

Paso 5.7.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$| 1 + v^{2} | = e^{2 C} x^{2}$

Paso 5.7.3.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.7.3.2.1

Reordena los factores en $e^{2 C} x^{2}$ .

$| 1 + v^{2} | = x^{2} e^{2 C}$

Paso 5.7.4

Resuelve $v$

Toca para ver más pasos...

Paso 5.7.4.1

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$1 + v^{2} = \pm x^{2} e^{2 C}$

Paso 5.7.4.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$v^{2} = \pm x^{2} e^{2 C} - 1$

Paso 5.7.4.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$v = \pm \sqrt{\pm x^{2} e^{2 C} - 1}$

Paso 6

Agrupa los términos de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Simplifica la constante de integración.

$v = \pm \sqrt{\pm x^{2} C - 1}$

Paso 6.2

Combina constantes con el signo más o menos.

$v = \pm \sqrt{C x^{2} - 1}$