Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d t} - y = 1$ , $y (0) = 1$

Paso 1

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (t) d t}$ , donde $P (t) = - 1$ .

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Paso 1.1

Establece la integración.

$e^{\int - 1 d t}$

Paso 1.2

Aplica la regla de la constante.

$e^{- t + C}$

Paso 1.3

Elimina la constante de integración.

$e^{- t}$

Paso 2

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{- t}$ .

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Paso 2.1

Multiplica cada término por $e^{- t}$ .

$e^{- t} \frac{d y}{d t} + e^{- t} (- y) = e^{- t} \cdot 1$

Paso 2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{- t} \frac{d y}{d t} - e^{- t} y = e^{- t} \cdot 1$

Paso 2.3

Multiplica $e^{- t}$ por $1$ .

$e^{- t} \frac{d y}{d t} - e^{- t} y = e^{- t}$

Paso 2.4

Reordena los factores en $e^{- t} \frac{d y}{d t} - e^{- t} y = e^{- t}$ .

$e^{- t} \frac{d y}{d t} - y e^{- t} = e^{- t}$

Paso 3

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d t} [e^{- t} y] = e^{- t}$

Paso 4

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d t} [e^{- t} y] d t = \int e^{- t} d t$

Paso 5

Integra el lado izquierdo.

$e^{- t} y = \int e^{- t} d t$

Paso 6

Integra el lado derecho.

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Paso 6.1

Sea $u = - t$ . Entonces $d u = - d t$ , de modo que $- d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.1.1

Deja $u = - t$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 6.1.1.1

Diferencia $- t$ .

$\frac{d}{d t} [- t]$

Paso 6.1.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- t$ con respecto a $t$ es $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{d}{d t} [t]$

Paso 6.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 6.1.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 6.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$e^{- t} y = \int - e^{u} d u$

Paso 6.2

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- t} y = - \int e^{u} d u$

Paso 6.3

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$e^{- t} y = - (e^{u} + C)$

Paso 6.4

Simplifica.

$e^{- t} y = - e^{u} + C$

Paso 6.5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- t$ .

$e^{- t} y = - e^{- t} + C$

Paso 7

Divide cada término en $e^{- t} y = - e^{- t} + C$ por $e^{- t}$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $e^{- t} y = - e^{- t} + C$ por $e^{- t}$ .

$\frac{e^{- t} y}{e^{- t}} = \frac{- e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $e^{- t}$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{- t} y}{e^{- t}} = \frac{- e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Paso 7.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.1

Cancela el factor común de $e^{- t}$ .

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Paso 7.3.1.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{- e^{- t}}{e^{- t}} + \frac{C}{e^{- t}}$

Paso 7.3.1.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$y = - 1 + \frac{C}{e^{- t}}$

Paso 8

Usa la condición inicial para obtener el valor de $C$ mediante la sustitución de $0$ por $t$ y de $1$ por $y$ en $y = - 1 + \frac{C}{e^{- t}}$ .

$1 = - 1 + \frac{C}{e^{0}}$

Paso 9

Resuelve $C$

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Paso 9.1

Reescribe la ecuación como $- 1 + \frac{C}{e^{0}} = 1$ .

$- 1 + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Paso 9.2

Simplifica cada término.

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Paso 9.2.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$- 1 + \frac{C}{1} = 1$

Paso 9.2.2

Divide $C$ por $1$ .

$- 1 + C = 1$

Paso 9.3

Mueve todos los términos que no contengan $C$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.3.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$C = 1 + 1$

Paso 9.3.2

Suma $1$ y $1$ .

$C = 2$

Paso 10

Sustituye $2$ por $C$ en $y = - 1 + \frac{C}{e^{- t}}$ y simplifica.

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Paso 10.1

Sustituye $2$ por $C$ .

$y = - 1 + \frac{2}{e^{- t}}$