Cálculo Ejemplos

$x (t^{2} - 1) d t + (t^{3} - 3 t) d x = 0$

Paso 1

Resta $x (t^{2} - 1) d t$ de ambos lados de la ecuación.

$(t^{3} - 3 t) d x = - x (t^{2} - 1) d t$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{(t^{3} - 3 t) x}$ .

$\frac{1}{(t^{3} - 3 t) x} (t^{3} - 3 t) d x = \frac{1}{(t^{3} - 3 t) x} (- x (t^{2} - 1)) d t$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $t^{3} - 3 t$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $t^{3} - 3 t$ de $(t^{3} - 3 t) x$ .

$\frac{1}{(t^{3} - 3 t) (x)} (t^{3} - 3 t) d x = \frac{1}{(t^{3} - 3 t) x} (- x (t^{2} - 1)) d t$

Paso 3.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{(t^{3} - 3 t) x} (t^{3} - 3 t) d x = \frac{1}{(t^{3} - 3 t) x} (- x (t^{2} - 1)) d t$

Paso 3.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{x} d x = \frac{1}{(t^{3} - 3 t) x} (- x (t^{2} - 1)) d t$

Paso 3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{x} d x = - \frac{1}{(t^{3} - 3 t) x} (x (t^{2} - 1)) d t$

Paso 3.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{(t^{3} - 3 t) x}$ al numerador.

$\frac{1}{x} d x = \frac{- 1}{(t^{3} - 3 t) x} (x (t^{2} - 1)) d t$

Paso 3.3.2

Factoriza $x$ de $(t^{3} - 3 t) x$ .

$\frac{1}{x} d x = \frac{- 1}{x (t^{3} - 3 t)} (x (t^{2} - 1)) d t$

Paso 3.3.3

Cancela el factor común.

$\frac{1}{x} d x = \frac{- 1}{x (t^{3} - 3 t)} (x (t^{2} - 1)) d t$

Paso 3.3.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{x} d x = \frac{- 1}{t^{3} - 3 t} (t^{2} - 1) d t$

Paso 3.4

Factoriza $t$ de $t^{3} - 3 t$ .

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Paso 3.4.1

Factoriza $t$ de $t^{3}$ .

$\frac{1}{x} d x = \frac{- 1}{t \cdot t^{2} - 3 t} (t^{2} - 1) d t$

Paso 3.4.2

Factoriza $t$ de $- 3 t$ .

$\frac{1}{x} d x = \frac{- 1}{t \cdot t^{2} + t \cdot - 3} (t^{2} - 1) d t$

Paso 3.4.3

Factoriza $t$ de $t \cdot t^{2} + t \cdot - 3$ .

$\frac{1}{x} d x = \frac{- 1}{t (t^{2} - 3)} (t^{2} - 1) d t$

Paso 3.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{x} d x = - \frac{1}{t (t^{2} - 3)} (t^{2} - 1) d t$

Paso 3.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{x} d x = (- \frac{1}{t (t^{2} - 3)} t^{2} - \frac{1}{t (t^{2} - 3)} \cdot - 1) d t$

Paso 3.7

Cancela el factor común de $t$ .

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Paso 3.7.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{t (t^{2} - 3)}$ al numerador.

$\frac{1}{x} d x = (\frac{- 1}{t (t^{2} - 3)} t^{2} - \frac{1}{t (t^{2} - 3)} \cdot - 1) d t$

Paso 3.7.2

Factoriza $t$ de $t^{2}$ .

$\frac{1}{x} d x = (\frac{- 1}{t (t^{2} - 3)} (t \cdot t) - \frac{1}{t (t^{2} - 3)} \cdot - 1) d t$

Paso 3.7.3

Cancela el factor común.

$\frac{1}{x} d x = (\frac{- 1}{t (t^{2} - 3)} (t \cdot t) - \frac{1}{t (t^{2} - 3)} \cdot - 1) d t$

Paso 3.7.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{x} d x = (\frac{- 1}{t^{2} - 3} t - \frac{1}{t (t^{2} - 3)} \cdot - 1) d t$

Paso 3.8

Combina $\frac{- 1}{t^{2} - 3}$ y $t$ .

$\frac{1}{x} d x = (\frac{- t}{t^{2} - 3} - \frac{1}{t (t^{2} - 3)} \cdot - 1) d t$

Paso 3.9

Multiplica $- \frac{1}{t (t^{2} - 3)} \cdot - 1$ .

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Paso 3.9.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{x} d x = (\frac{- t}{t^{2} - 3} + 1 \frac{1}{t (t^{2} - 3)}) d t$

Paso 3.9.2

Multiplica $\frac{1}{t (t^{2} - 3)}$ por $1$ .

$\frac{1}{x} d x = (\frac{- t}{t^{2} - 3} + \frac{1}{t (t^{2} - 3)}) d t$

Paso 3.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{x} d x = (- \frac{t}{t^{2} - 3} + \frac{1}{t (t^{2} - 3)}) d t$

Paso 3.11

Para escribir $- \frac{t}{t^{2} - 3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{t}{t}$ .

$\frac{1}{x} d x = (- \frac{t}{t^{2} - 3} \cdot \frac{t}{t} + \frac{1}{t (t^{2} - 3)}) d t$

Paso 3.12

Escribe cada expresión con un denominador común de $(t^{2} - 3) t$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.12.1

Multiplica $\frac{t}{t^{2} - 3}$ por $\frac{t}{t}$ .

$\frac{1}{x} d x = (- \frac{t \cdot t}{(t^{2} - 3) t} + \frac{1}{t (t^{2} - 3)}) d t$

Paso 3.12.2

Reordena los factores de $(t^{2} - 3) t$ .

$\frac{1}{x} d x = (- \frac{t \cdot t}{t (t^{2} - 3)} + \frac{1}{t (t^{2} - 3)}) d t$

Paso 3.13

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{x} d x = \frac{- t \cdot t + 1}{t (t^{2} - 3)} d t$

Paso 3.14

Simplifica el numerador.

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Paso 3.14.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1}{x} d x = \frac{- t \cdot t + 1^{2}}{t (t^{2} - 3)} d t$

Paso 3.14.2

Reescribe $t \cdot t$ como $t^{2}$ .

$\frac{1}{x} d x = \frac{- t^{2} + 1^{2}}{t (t^{2} - 3)} d t$

Paso 3.14.3

Reordena $- t^{2}$ y $1^{2}$ .

$\frac{1}{x} d x = \frac{1^{2} - t^{2}}{t (t^{2} - 3)} d t$

Paso 3.14.4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = t$ .

$\frac{1}{x} d x = \frac{(1 + t) (1 - t)}{t (t^{2} - 3)} d t$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{x} d x = \int \frac{(1 + t) (1 - t)}{t (t^{2} - 3)} d t$

Paso 4.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = \int \frac{(1 + t) (1 - t)}{t (t^{2} - 3)} d t$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 4.3.1.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 4.3.1.1.1

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor es de segundo orden, se requieren $2$ términos en el numerador. El número de términos requeridos en el numerador siempre es igual al orden del factor en el denominador.

$\frac{A}{t} + \frac{B t + C}{t^{2} - 3}$

Paso 4.3.1.1.2

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $t (t^{2} - 3)$ .

$\frac{(1 + t) (1 - t) (t (t^{2} - 3))}{t (t^{2} - 3)} = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Paso 4.3.1.1.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 4.3.1.1.3.1

Cancela el factor común de $t$ .

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Paso 4.3.1.1.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{(1 + t) (1 - t) (t (t^{2} - 3))}{t (t^{2} - 3)} = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Paso 4.3.1.1.3.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(1 + t) (1 - t) (t^{2} - 3)}{t^{2} - 3} = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Paso 4.3.1.1.3.2

Cancela el factor común de $t^{2} - 3$ .

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Paso 4.3.1.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{(1 + t) (1 - t) (t^{2} - 3)}{t^{2} - 3} = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Paso 4.3.1.1.3.2.2

Divide $(1 + t) (1 - t)$ por $1$ .

$(1 + t) (1 - t) = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Paso 4.3.1.1.4

Expande $(1 + t) (1 - t)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.3.1.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$1 (1 - t) + t (1 - t) = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Paso 4.3.1.1.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$1 \cdot 1 + 1 (- t) + t (1 - t) = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Paso 4.3.1.1.4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$1 \cdot 1 + 1 (- t) + t \cdot 1 + t (- t) = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Paso 4.3.1.1.5

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.3.1.1.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.1.1.5.1.1

Multiplica $1$ por $1$ .

$1 + 1 (- t) + t \cdot 1 + t (- t) = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Paso 4.3.1.1.5.1.2

Multiplica $- t$ por $1$ .

$1 - t + t \cdot 1 + t (- t) = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Paso 4.3.1.1.5.1.3

Multiplica $t$ por $1$ .

$1 - t + t + t (- t) = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Paso 4.3.1.1.5.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$1 - t + t - t \cdot t = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Paso 4.3.1.1.5.1.5

Multiplica $t$ por $t$ sumando los exponentes.

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Paso 4.3.1.1.5.1.5.1

Mueve $t$ .

$1 - t + t - (t \cdot t) = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Paso 4.3.1.1.5.1.5.2

Multiplica $t$ por $t$ .

$1 - t + t - t^{2} = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Paso 4.3.1.1.5.2

Suma $- t$ y $t$ .

$1 + 0 - t^{2} = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Paso 4.3.1.1.5.3

Suma $1$ y $0$ .

$1 - t^{2} = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Paso 4.3.1.1.6

Reordena $1$ y $- t^{2}$ .

$- t^{2} + 1 = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Paso 4.3.1.1.7

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.1.1.7.1

Cancela el factor común de $t$ .

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Paso 4.3.1.1.7.1.1

Cancela el factor común.

$- t^{2} + 1 = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Paso 4.3.1.1.7.1.2

Divide $A (t^{2} - 3)$ por $1$ .

$- t^{2} + 1 = A (t^{2} - 3) + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Paso 4.3.1.1.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- t^{2} + 1 = A t^{2} + A \cdot - 3 + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Paso 4.3.1.1.7.3

Mueve $- 3$ a la izquierda de $A$ .

$- t^{2} + 1 = A t^{2} - 3 \cdot A + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Paso 4.3.1.1.7.4

Cancela el factor común de $t^{2} - 3$ .

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Paso 4.3.1.1.7.4.1

Cancela el factor común.

$- t^{2} + 1 = A t^{2} - 3 A + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Paso 4.3.1.1.7.4.2

Divide $(B t + C) (t)$ por $1$ .

$- t^{2} + 1 = A t^{2} - 3 A + (B t + C) (t)$

Paso 4.3.1.1.7.5

Aplica la propiedad distributiva.

$- t^{2} + 1 = A t^{2} - 3 A + B t \cdot t + C t$

Paso 4.3.1.1.7.6

Multiplica $t$ por $t$ sumando los exponentes.

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Paso 4.3.1.1.7.6.1

Mueve $t$ .

$- t^{2} + 1 = A t^{2} - 3 A + B (t \cdot t) + C t$

Paso 4.3.1.1.7.6.2

Multiplica $t$ por $t$ .

$- t^{2} + 1 = A t^{2} - 3 A + B t^{2} + C t$

Paso 4.3.1.1.8

Mueve $- 3 A$ .

$- t^{2} + 1 = A t^{2} + B t^{2} + C t - 3 A$

Paso 4.3.1.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 4.3.1.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $t^{2}$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$- 1 = A + B$

Paso 4.3.1.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $t$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = C$

Paso 4.3.1.2.3

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $t$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = - 3 A$

Paso 4.3.1.2.4

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$- 1 = A + B$

$0 = C$

$1 = - 3 A$

$- 1 = A + B$

$0 = C$

$1 = - 3 A$

Paso 4.3.1.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 4.3.1.3.1

Reescribe la ecuación como $C = 0$ .

$C = 0$

$- 1 = A + B$

$1 = - 3 A$

Paso 4.3.1.3.2

Reemplaza todos los casos de $C$ por $0$ en cada ecuación.

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Paso 4.3.1.3.2.1

Reescribe la ecuación como $- 3 A = 1$ .

$- 3 A = 1$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

Paso 4.3.1.3.2.2

Divide cada término en $- 3 A = 1$ por $- 3$ y simplifica.

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Paso 4.3.1.3.2.2.1

Divide cada término en $- 3 A = 1$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{1}{- 3}$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

Paso 4.3.1.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.1.3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $- 3$ .

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Paso 4.3.1.3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{1}{- 3}$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

Paso 4.3.1.3.2.2.2.1.2

Divide $A$ por $1$ .

$A = \frac{1}{- 3}$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

$A = \frac{1}{- 3}$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

$A = \frac{1}{- 3}$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

Paso 4.3.1.3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.1.3.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

Paso 4.3.1.3.3

Reemplaza todos los casos de $A$ por $- \frac{1}{3}$ en cada ecuación.

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Paso 4.3.1.3.3.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $- 1 = A + B$ por $- \frac{1}{3}$ .

$- 1 = (- \frac{1}{3}) + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Paso 4.3.1.3.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.1.3.3.2.1

Elimina los paréntesis.

$- 1 = - \frac{1}{3} + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$- 1 = - \frac{1}{3} + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$- 1 = - \frac{1}{3} + B$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Paso 4.3.1.3.4

Resuelve $B$ en $- 1 = - \frac{1}{3} + B$ .

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Paso 4.3.1.3.4.1

Reescribe la ecuación como $- \frac{1}{3} + B = - 1$ .

$- \frac{1}{3} + B = - 1$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Paso 4.3.1.3.4.2

Mueve todos los términos que no contengan $B$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.3.1.3.4.2.1

Suma $\frac{1}{3}$ a ambos lados de la ecuación.

$B = - 1 + \frac{1}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Paso 4.3.1.3.4.2.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$B = - 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Paso 4.3.1.3.4.2.3

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$B = \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Paso 4.3.1.3.4.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$B = \frac{- 1 \cdot 3 + 1}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Paso 4.3.1.3.4.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.1.3.4.2.5.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$B = \frac{- 3 + 1}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Paso 4.3.1.3.4.2.5.2

Suma $- 3$ y $1$ .

$B = \frac{- 2}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$B = \frac{- 2}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Paso 4.3.1.3.4.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

$B = - \frac{2}{3}$

$A = - \frac{1}{3}$

$C = 0$

Paso 4.3.1.3.5

Resuelve el sistema de ecuaciones.

$B = - \frac{2}{3} A = - \frac{1}{3} C = 0$

Paso 4.3.1.3.6

Enumera todas las soluciones.

$B = - \frac{2}{3}, A = - \frac{1}{3}, C = 0$

Paso 4.3.1.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{t} + \frac{B t + C}{t^{2} - 3}$ con los valores obtenidos para $A$ , $B$ y $C$ .

$- \frac{\frac{1}{3}}{t} + \frac{- \frac{2}{3 t} + 0}{t^{2} - 3}$

Paso 4.3.1.5

Simplifica.

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Paso 4.3.1.5.1

Elimina los paréntesis.

$\frac{- \frac{1}{3}}{t} + \frac{(- \frac{2}{3}) \cdot t + 0}{t^{2} - 3}$

Paso 4.3.1.5.2

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1.5.2.1

Combina $t$ y $\frac{2}{3}$ .

$\frac{- \frac{1}{3}}{t} + \frac{- \frac{t \cdot 2}{3} + 0}{t^{2} - 3}$

Paso 4.3.1.5.2.2

Mueve $2$ a la izquierda de $t$ .

$\frac{- \frac{1}{3}}{t} + \frac{- \frac{2 \cdot t}{3} + 0}{t^{2} - 3}$

Paso 4.3.1.5.2.3

Suma $- \frac{2 t}{3}$ y $0$ .

$\frac{- \frac{1}{3}}{t} + \frac{- \frac{2 t}{3}}{t^{2} - 3}$

Paso 4.3.1.5.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{- \frac{1}{3}}{t} - \frac{2 t}{3} \cdot \frac{1}{t^{2} - 3}$

Paso 4.3.1.5.4

Multiplica $\frac{1}{t^{2} - 3}$ por $\frac{2 t}{3}$ .

$\frac{- \frac{1}{3}}{t} - \frac{2 t}{(t^{2} - 3) \cdot 3}$

Paso 4.3.1.5.5

Mueve $3$ a la izquierda de $t^{2} - 3$ .

$\frac{- \frac{1}{3}}{t} - \frac{2 t}{3 (t^{2} - 3)}$

Paso 4.3.1.5.6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{t} - \frac{2 t}{3 (t^{2} - 3)}$

Paso 4.3.1.5.7

Multiplica $\frac{1}{t}$ por $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{t \cdot 3} - \frac{2 t}{3 (t^{2} - 3)}$

Paso 4.3.1.5.8

Mueve $3$ a la izquierda de $t$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = \int - \frac{1}{3 t} - \frac{2 t}{3 (t^{2} - 3)} d t$

Paso 4.3.2

Divide la única integral en varias integrales.

$\ln (| x |) + C_{1} = \int - \frac{1}{3 t} d t + \int - \frac{2 t}{3 (t^{2} - 3)} d t$

Paso 4.3.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $t$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\ln (| x |) + C_{1} = - \int \frac{1}{3 t} d t + \int - \frac{2 t}{3 (t^{2} - 3)} d t$

Paso 4.3.4

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $t$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\ln (| x |) + C_{1} = - (\frac{1}{3} \int \frac{1}{t} d t) + \int - \frac{2 t}{3 (t^{2} - 3)} d t$

Paso 4.3.5

La integral de $\frac{1}{t}$ con respecto a $t$ es $\ln (| t |)$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) + \int - \frac{2 t}{3 (t^{2} - 3)} d t$

Paso 4.3.6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $t$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \int \frac{2 t}{3 (t^{2} - 3)} d t$

Paso 4.3.7

Dado que $\frac{2}{3}$ es constante con respecto a $t$ , mueve $\frac{2}{3}$ fuera de la integral.

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - (\frac{2}{3} \int \frac{t}{t^{2} - 3} d t)$

Paso 4.3.8

Sea $u = t^{2} - 3$ . Entonces $d u = 2 t d t$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = t d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.3.8.1

Deja $u = t^{2} - 3$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.8.1.1

Diferencia $t^{2} - 3$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2} - 3]$

Paso 4.3.8.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $t^{2} - 3$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$

Paso 4.3.8.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 t + \frac{d}{d t} [- 3]$

Paso 4.3.8.1.4

Como $- 3$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $t$ es $0$ .

$2 t + 0$

Paso 4.3.8.1.5

Suma $2 t$ y $0$ .

$2 t$

Paso 4.3.8.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{2}{3} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 4.3.9

Simplifica.

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Paso 4.3.9.1

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{2}{3} \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Paso 4.3.9.2

Mueve $2$ a la izquierda de $u$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{2}{3} \int \frac{1}{2 u} d u$

Paso 4.3.10

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{2}{3} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Paso 4.3.11

Simplifica.

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Paso 4.3.11.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{3}$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{2}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 4.3.11.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{2}{6} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 4.3.11.3

Cancela el factor común de $2$ y $6$ .

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Paso 4.3.11.3.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{2 (1)}{6} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 4.3.11.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.11.3.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 4.3.11.3.2.2

Cancela el factor común.

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 4.3.11.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 4.3.12

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| t |) + C_{2}) - \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{3})$

Paso 4.3.13

Simplifica.

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} \ln (| t |) - \frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{4}$

Paso 4.3.14

Reemplaza todos los casos de $u$ con $t^{2} - 3$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = - \frac{1}{3} \ln (| t |) - \frac{1}{3} \ln (| t^{2} - 3 |) + C_{4}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| x |) = - \frac{1}{3} \ln (| t |) - \frac{1}{3} \ln (| t^{2} - 3 |) + C$

Paso 5

Resuelve $x$

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Paso 5.1

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.1.1

Combina $\ln (| t |)$ y $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| x |) = - \frac{\ln (| t |)}{3} - \frac{1}{3} \ln (| t^{2} - 3 |) + C$

Paso 5.1.1.2

Combina $\ln (| t^{2} - 3 |)$ y $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| x |) = - \frac{\ln (| t |)}{3} - \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{3} + C$

Paso 5.2

Multiplica cada término en $\ln (| x |) = - \frac{\ln (| t |)}{3} - \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{3} + C$ por $3$ para eliminar las fracciones.

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Paso 5.2.1

Multiplica cada término en $\ln (| x |) = - \frac{\ln (| t |)}{3} - \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{3} + C$ por $3$ .

$\ln (| x |) \cdot 3 = - \frac{\ln (| t |)}{3} \cdot 3 - \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1

Mueve $3$ a la izquierda de $\ln (| x |)$ .

$3 \ln (| x |) = - \frac{\ln (| t |)}{3} \cdot 3 - \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.3.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\ln (| t |)}{3}$ al numerador.

$3 \ln (| x |) = \frac{- \ln (| t |)}{3} \cdot 3 - \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

Paso 5.2.3.1.1.2

Cancela el factor común.

$3 \ln (| x |) = \frac{- \ln (| t |)}{3} \cdot 3 - \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

Paso 5.2.3.1.1.3

Reescribe la expresión.

$3 \ln (| x |) = - \ln (| t |) - \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

Paso 5.2.3.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.3.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{3}$ al numerador.

$3 \ln (| x |) = - \ln (| t |) + \frac{- \ln (| t^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

Paso 5.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$3 \ln (| x |) = - \ln (| t |) + \frac{- \ln (| t^{2} - 3 |)}{3} \cdot 3 + C \cdot 3$

Paso 5.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$3 \ln (| x |) = - \ln (| t |) - \ln (| t^{2} - 3 |) + C \cdot 3$

Paso 5.2.3.1.3

Mueve $3$ a la izquierda de $C$ .

$3 \ln (| x |) = - \ln (| t |) - \ln (| t^{2} - 3 |) + 3 C$

Paso 5.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.1

Simplifica $3 \ln (| x |)$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$\ln ({| x |}^{3}) = - \ln (| t |) - \ln (| t^{2} - 3 |) + 3 C$

Paso 5.4

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln ({| x |}^{3}) + \ln (| t |) + \ln (| t^{2} - 3 |) = 3 C$

Paso 5.5

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ({| x |}^{3} | t |) + \ln (| t^{2} - 3 |) = 3 C$

Paso 5.6

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ({| x |}^{3} | t | | t^{2} - 3 |) = 3 C$

Paso 5.7

Para multiplicar valores absolutos, multiplica los términos dentro de cada valor absoluto.

$\ln ({| x |}^{3} | (t^{2} - 3) t |) = 3 C$

Paso 5.8

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln ({| x |}^{3} | t^{2} t - 3 t |) = 3 C$

Paso 5.9

Multiplica $t^{2}$ por $t$ sumando los exponentes.

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Paso 5.9.1

Multiplica $t^{2}$ por $t$ .

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Paso 5.9.1.1

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$\ln ({| x |}^{3} | t^{2} t - 3 t |) = 3 C$

Paso 5.9.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\ln ({| x |}^{3} | t^{2 + 1} - 3 t |) = 3 C$

Paso 5.9.2

Suma $2$ y $1$ .

$\ln ({| x |}^{3} | t^{3} - 3 t |) = 3 C$

Paso 5.10

Para resolver $x$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln ({| x |}^{3} | t^{3} - 3 t |)} = e^{3 C}$

Paso 5.11

Reescribe $\ln ({| x |}^{3} | t^{3} - 3 t |) = 3 C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{3 C} = {| x |}^{3} | t^{3} - 3 t |$

Paso 5.12

Resuelve $x$

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Paso 5.12.1

Reescribe la ecuación como ${| x |}^{3} | t^{3} - 3 t | = e^{3 C}$ .

${| x |}^{3} | t^{3} - 3 t | = e^{3 C}$

Paso 5.12.2

Divide cada término en ${| x |}^{3} | t^{3} - 3 t | = e^{3 C}$ por $| t^{3} - 3 t |$ y simplifica.

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Paso 5.12.2.1

Divide cada término en ${| x |}^{3} | t^{3} - 3 t | = e^{3 C}$ por $| t^{3} - 3 t |$ .

$\frac{{| x |}^{3} | t^{3} - 3 t |}{| t^{3} - 3 t |} = \frac{e^{3 C}}{| t^{3} - 3 t |}$

Paso 5.12.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.12.2.2.1

Cancela el factor común de $| t^{3} - 3 t |$ .

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Paso 5.12.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{{| x |}^{3} | t^{3} - 3 t |}{| t^{3} - 3 t |} = \frac{e^{3 C}}{| t^{3} - 3 t |}$

Paso 5.12.2.2.1.2

Divide ${| x |}^{3}$ por $1$ .

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t^{3} - 3 t |}$

Paso 5.12.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.12.2.3.1

Simplifica el denominador.

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Paso 5.12.2.3.1.1

Factoriza $t$ de $t^{3} - 3 t$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.12.2.3.1.1.1

Factoriza $t$ de $t^{3}$ .

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t \cdot t^{2} - 3 t |}$

Paso 5.12.2.3.1.1.2

Factoriza $t$ de $- 3 t$ .

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t \cdot t^{2} + t \cdot - 3 |}$

Paso 5.12.2.3.1.1.3

Factoriza $t$ de $t \cdot t^{2} + t \cdot - 3$ .

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Paso 5.12.2.3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t \cdot t^{2} + t \cdot - 3 |}$

Paso 5.12.2.3.1.3

Multiplica $t$ por $t^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.12.2.3.1.3.1

Multiplica $t$ por $t^{2}$ .

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Paso 5.12.2.3.1.3.1.1

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t^{1} t^{2} + t \cdot - 3 |}$

Paso 5.12.2.3.1.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t^{1 + 2} + t \cdot - 3 |}$

Paso 5.12.2.3.1.3.2

Suma $1$ y $2$ .

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t^{3} + t \cdot - 3 |}$

Paso 5.12.2.3.1.4

Mueve $- 3$ a la izquierda de $t$ .

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t^{3} - 3 \cdot t |}$

Paso 5.12.2.3.1.5

Factoriza $t$ de $t^{3} - 3 t$ .

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Paso 5.12.2.3.1.5.1

Factoriza $t$ de $t^{3}$ .

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t \cdot t^{2} - 3 t |}$

Paso 5.12.2.3.1.5.2

Factoriza $t$ de $- 3 t$ .

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t \cdot t^{2} + t \cdot - 3 |}$

Paso 5.12.2.3.1.5.3

Factoriza $t$ de $t \cdot t^{2} + t \cdot - 3$ .

${| x |}^{3} = \frac{e^{3 C}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Paso 5.12.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$| x | = \sqrt[3]{\frac{e^{3 C}}{| t (t^{2} - 3) |}}$

Paso 5.12.4

Simplifica $\sqrt[3]{\frac{e^{3 C}}{| t (t^{2} - 3) |}}$ .

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Paso 5.12.4.1

Reescribe $\sqrt[3]{\frac{e^{3 C}}{| t (t^{2} - 3) |}}$ como $\frac{\sqrt[3]{e^{3 C}}}{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}$ .

$| x | = \frac{\sqrt[3]{e^{3 C}}}{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}$

Paso 5.12.4.2

Simplifica el numerador.

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Paso 5.12.4.2.1

Reescribe $e^{3 C}$ como ${(e^{C})}^{3}$ .

$| x | = \frac{\sqrt[3]{{(e^{C})}^{3}}}{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}$

Paso 5.12.4.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$| x | = \frac{e^{C}}{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}$

Paso 5.12.4.3

Multiplica $\frac{e^{C}}{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}$ .

$| x | = \frac{e^{C}}{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}$

Paso 5.12.4.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 5.12.4.4.1

Multiplica $\frac{e^{C}}{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}$ .

$| x | = \frac{e^{C} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}$

Paso 5.12.4.4.2

Eleva $\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}$ a la potencia de $1$ .

$| x | = \frac{e^{C} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{1} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}$

Paso 5.12.4.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$| x | = \frac{e^{C} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{1 + 2}}$

Paso 5.12.4.4.4

Suma $1$ y $2$ .

$| x | = \frac{e^{C} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{3}}$

Paso 5.12.4.4.5

Reescribe ${\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{3}$ como $| t (t^{2} - 3) |$ .

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Paso 5.12.4.4.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}$ como ${| t (t^{2} - 3) |}^{\frac{1}{3}}$ .

$| x | = \frac{e^{C} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{({| t (t^{2} - 3) |}^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Paso 5.12.4.4.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| x | = \frac{e^{C} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{| t (t^{2} - 3) |}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Paso 5.12.4.4.5.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$| x | = \frac{e^{C} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{| t (t^{2} - 3) |}^{\frac{3}{3}}}$

Paso 5.12.4.4.5.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.12.4.4.5.4.1

Cancela el factor común.

$| x | = \frac{e^{C} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{| t (t^{2} - 3) |}^{\frac{3}{3}}}$

Paso 5.12.4.4.5.4.2

Reescribe la expresión.

$| x | = \frac{e^{C} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{{| t (t^{2} - 3) |}^{1}}$

Paso 5.12.4.4.5.5

Simplifica.

$| x | = \frac{e^{C} {\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Paso 5.12.4.5

Reescribe ${\sqrt[3]{| t (t^{2} - 3) |}}^{2}$ como $\sqrt[3]{{| t (t^{2} - 3) |}^{2}}$ .

$| x | = \frac{e^{C} \sqrt[3]{{| t (t^{2} - 3) |}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Paso 5.12.5

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{{| t (t^{2} - 3) |}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Paso 5.12.6

Simplifica el numerador.

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Paso 5.12.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{{| t \cdot t^{2} + t \cdot - 3 |}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Paso 5.12.6.2

Multiplica $t$ por $t^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.12.6.2.1

Multiplica $t$ por $t^{2}$ .

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Paso 5.12.6.2.1.1

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{{| t^{1} t^{2} + t \cdot - 3 |}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Paso 5.12.6.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{{| t^{1 + 2} + t \cdot - 3 |}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Paso 5.12.6.2.2

Suma $1$ y $2$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{{| t^{3} + t \cdot - 3 |}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Paso 5.12.6.3

Mueve $- 3$ a la izquierda de $t$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{{| t^{3} - 3 \cdot t |}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Paso 5.12.6.4

Elimina el valor absoluto en ${| t^{3} - 3 t |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{{(t^{3} - 3 t)}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Paso 5.12.6.5

Reescribe ${(t^{3} - 3 t)}^{2}$ como $(t^{3} - 3 t) (t^{3} - 3 t)$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{(t^{3} - 3 t) (t^{3} - 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Paso 5.12.6.6

Expande $(t^{3} - 3 t) (t^{3} - 3 t)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.12.6.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{3} (t^{3} - 3 t) - 3 t (t^{3} - 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Paso 5.12.6.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{3} t^{3} + t^{3} (- 3 t) - 3 t (t^{3} - 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Paso 5.12.6.6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{3} t^{3} + t^{3} (- 3 t) - 3 t \cdot t^{3} - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Paso 5.12.6.7

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.12.6.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.12.6.7.1.1

Multiplica $t^{3}$ por $t^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.12.6.7.1.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{3 + 3} + t^{3} (- 3 t) - 3 t \cdot t^{3} - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Paso 5.12.6.7.1.1.2

Suma $3$ y $3$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} + t^{3} (- 3 t) - 3 t \cdot t^{3} - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Paso 5.12.6.7.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{3} t - 3 t \cdot t^{3} - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Paso 5.12.6.7.1.3

Multiplica $t^{3}$ por $t$ sumando los exponentes.

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Paso 5.12.6.7.1.3.1

Mueve $t$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 (t \cdot t^{3}) - 3 t \cdot t^{3} - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Paso 5.12.6.7.1.3.2

Multiplica $t$ por $t^{3}$ .

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Paso 5.12.6.7.1.3.2.1

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 (t^{1} t^{3}) - 3 t \cdot t^{3} - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Paso 5.12.6.7.1.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{1 + 3} - 3 t \cdot t^{3} - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Paso 5.12.6.7.1.3.3

Suma $1$ y $3$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{4} - 3 t \cdot t^{3} - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Paso 5.12.6.7.1.4

Multiplica $t$ por $t^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.12.6.7.1.4.1

Mueve $t^{3}$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{4} - 3 (t^{3} t) - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Paso 5.12.6.7.1.4.2

Multiplica $t^{3}$ por $t$ .

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Paso 5.12.6.7.1.4.2.1

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{4} - 3 (t^{3} t^{1}) - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Paso 5.12.6.7.1.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{4} - 3 t^{3 + 1} - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Paso 5.12.6.7.1.4.3

Suma $3$ y $1$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{4} - 3 t^{4} - 3 t (- 3 t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Paso 5.12.6.7.1.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{4} - 3 t^{4} - 3 \cdot - 3 t \cdot t}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Paso 5.12.6.7.1.6

Multiplica $t$ por $t$ sumando los exponentes.

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Paso 5.12.6.7.1.6.1

Mueve $t$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{4} - 3 t^{4} - 3 \cdot - 3 (t \cdot t)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Paso 5.12.6.7.1.6.2

Multiplica $t$ por $t$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{4} - 3 t^{4} - 3 \cdot - 3 t^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Paso 5.12.6.7.1.7

Multiplica $- 3$ por $- 3$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 3 t^{4} - 3 t^{4} + 9 t^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Paso 5.12.6.7.2

Resta $3 t^{4}$ de $- 3 t^{4}$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{6} - 6 t^{4} + 9 t^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Paso 5.12.6.8

Factoriza $t^{2}$ de $t^{6} - 6 t^{4} + 9 t^{2}$ .

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Paso 5.12.6.8.1

Factoriza $t^{2}$ de $t^{6}$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} t^{4} - 6 t^{4} + 9 t^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Paso 5.12.6.8.2

Factoriza $t^{2}$ de $- 6 t^{4}$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} t^{4} + t^{2} (- 6 t^{2}) + 9 t^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Paso 5.12.6.8.3

Factoriza $t^{2}$ de $9 t^{2}$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} t^{4} + t^{2} (- 6 t^{2}) + t^{2} \cdot 9}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Paso 5.12.6.8.4

Factoriza $t^{2}$ de $t^{2} t^{4} + t^{2} (- 6 t^{2})$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} (t^{4} - 6 t^{2}) + t^{2} \cdot 9}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Paso 5.12.6.8.5

Factoriza $t^{2}$ de $t^{2} (t^{4} - 6 t^{2}) + t^{2} \cdot 9$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} (t^{4} - 6 t^{2} + 9)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Paso 5.12.6.9

Reescribe $t^{4}$ como ${(t^{2})}^{2}$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} ({(t^{2})}^{2} - 6 t^{2} + 9)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Paso 5.12.6.10

Sea $u = t^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $t^{2}$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} (u^{2} - 6 u + 9)}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Paso 5.12.6.11

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 5.12.6.11.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} (u^{2} - 6 u + 3^{2})}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Paso 5.12.6.11.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$6 u = 2 \cdot u \cdot 3$

Paso 5.12.6.11.3

Reescribe el polinomio.

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 3 + 3^{2})}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Paso 5.12.6.11.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = u$ y $b = 3$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} {(u - 3)}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Paso 5.12.6.12

Reemplaza todos los casos de $u$ con $t^{2}$ .

$x = \pm \frac{e^{C} \sqrt[3]{t^{2} {(t^{2} - 3)}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$

Paso 6

Simplifica la constante de integración.

$x = \pm \frac{C \sqrt[3]{t^{2} {(t^{2} - 3)}^{2}}}{| t (t^{2} - 3) |}$