Cálculo Ejemplos

$e^{x} d y + (e^{x} + 1) d x = 0$

Paso 1

Resta $(e^{x} + 1) d x$ de ambos lados de la ecuación.

$e^{x} d y = - (e^{x} + 1) d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{e^{x}}$ .

$\frac{1}{e^{x}} e^{x} d y = \frac{1}{e^{x}} (- (e^{x} + 1)) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $e^{x}$ .

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Paso 3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{e^{x}} e^{x} d y = \frac{1}{e^{x}} (- (e^{x} + 1)) d x$

Paso 3.1.2

Reescribe la expresión.

$1 d y = \frac{1}{e^{x}} (- (e^{x} + 1)) d x$

Paso 3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$1 d y = - \frac{1}{e^{x}} (e^{x} + 1) d x$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$1 d y = (- \frac{1}{e^{x}} e^{x} - \frac{1}{e^{x}} \cdot 1) d x$

Paso 3.4

Cancela el factor común de $e^{x}$ .

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Paso 3.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{e^{x}}$ al numerador.

$1 d y = (\frac{- 1}{e^{x}} e^{x} - \frac{1}{e^{x}} \cdot 1) d x$

Paso 3.4.2

Cancela el factor común.

$1 d y = (\frac{- 1}{e^{x}} e^{x} - \frac{1}{e^{x}} \cdot 1) d x$

Paso 3.4.3

Reescribe la expresión.

$1 d y = (- 1 - \frac{1}{e^{x}} \cdot 1) d x$

Paso 3.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$1 d y = (- 1 - \frac{1}{e^{x}}) d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int - 1 - \frac{1}{e^{x}} d x$

Paso 4.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int - 1 - \frac{1}{e^{x}} d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \int - 1 d x + \int - \frac{1}{e^{x}} d x$

Paso 4.3.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = - x + C_{2} + \int - \frac{1}{e^{x}} d x$

Paso 4.3.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = - x + C_{2} - \int \frac{1}{e^{x}} d x$

Paso 4.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.4.1

Niega el exponente de $e^{x}$ y quítalo del denominador.

$y + C_{1} = - x + C_{2} - \int 1 {(e^{x})}^{- 1} d x$

Paso 4.3.4.2

Simplifica.

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Paso 4.3.4.2.1

Multiplica los exponentes en ${(e^{x})}^{- 1}$ .

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Paso 4.3.4.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = - x + C_{2} - \int 1 e^{x \cdot - 1} d x$

Paso 4.3.4.2.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$y + C_{1} = - x + C_{2} - \int 1 e^{- 1 \cdot x} d x$

Paso 4.3.4.2.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$y + C_{1} = - x + C_{2} - \int 1 e^{- x} d x$

Paso 4.3.4.2.2

Multiplica $e^{- x}$ por $1$ .

$y + C_{1} = - x + C_{2} - \int e^{- x} d x$

Paso 4.3.5

Sea $u = - x$ . Entonces $d u = - d x$ , de modo que $- d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.3.5.1

Deja $u = - x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.3.5.1.1

Diferencia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Paso 4.3.5.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.3.5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 4.3.5.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 4.3.5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$y + C_{1} = - x + C_{2} - \int - e^{u} d u$

Paso 4.3.6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = - x + C_{2} - - \int e^{u} d u$

Paso 4.3.7

Simplifica.

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Paso 4.3.7.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y + C_{1} = - x + C_{2} + 1 \int e^{u} d u$

Paso 4.3.7.2

Multiplica $\int e^{u} d u$ por $1$ .

$y + C_{1} = - x + C_{2} + \int e^{u} d u$

Paso 4.3.8

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$y + C_{1} = - x + C_{2} + e^{u} + C_{3}$

Paso 4.3.9

Simplifica.

$y + C_{1} = - x + e^{u} + C_{4}$

Paso 4.3.10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$y + C_{1} = - x + e^{- x} + C_{4}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = - x + e^{- x} + K$