Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d t} + 4 y = 11$ , $y (0) = 1$

Paso 1

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (t) d t}$ , donde $P (t) = 4$ .

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Paso 1.1

Establece la integración.

$e^{\int 4 d t}$

Paso 1.2

Aplica la regla de la constante.

$e^{4 t + C}$

Paso 1.3

Elimina la constante de integración.

$e^{4 t}$

Paso 2

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{4 t}$ .

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Paso 2.1

Multiplica cada término por $e^{4 t}$ .

$e^{4 t} \frac{d y}{d t} + e^{4 t} (4 y) = e^{4 t} \cdot 11$

Paso 2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{4 t} \frac{d y}{d t} + 4 e^{4 t} y = e^{4 t} \cdot 11$

Paso 2.3

Mueve $11$ a la izquierda de $e^{4 t}$ .

$e^{4 t} \frac{d y}{d t} + 4 e^{4 t} y = 11 \cdot e^{4 t}$

Paso 2.4

Reordena los factores en $e^{4 t} \frac{d y}{d t} + 4 e^{4 t} y = 11 e^{4 t}$ .

$e^{4 t} \frac{d y}{d t} + 4 y e^{4 t} = 11 e^{4 t}$

Paso 3

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d t} [e^{4 t} y] = 11 e^{4 t}$

Paso 4

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d t} [e^{4 t} y] d t = \int 11 e^{4 t} d t$

Paso 5

Integra el lado izquierdo.

$e^{4 t} y = \int 11 e^{4 t} d t$

Paso 6

Integra el lado derecho.

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Paso 6.1

Dado que $11$ es constante con respecto a $t$ , mueve $11$ fuera de la integral.

$e^{4 t} y = 11 \int e^{4 t} d t$

Paso 6.2

Sea $u = 4 t$ . Entonces $d u = 4 d t$ , de modo que $\frac{1}{4} d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 6.2.1

Deja $u = 4 t$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 6.2.1.1

Diferencia $4 t$ .

$\frac{d}{d t} [4 t]$

Paso 6.2.1.2

Como $4$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $4 t$ con respecto a $t$ es $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$4 \frac{d}{d t} [t]$

Paso 6.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Paso 6.2.1.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$4$

Paso 6.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$e^{4 t} y = 11 \int e^{u} \frac{1}{4} d u$

Paso 6.3

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{4}$ .

$e^{4 t} y = 11 \int \frac{e^{u}}{4} d u$

Paso 6.4

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$e^{4 t} y = 11 (\frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Paso 6.5

Combina $\frac{1}{4}$ y $11$ .

$e^{4 t} y = \frac{11}{4} \int e^{u} d u$

Paso 6.6

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$e^{4 t} y = \frac{11}{4} (e^{u} + C)$

Paso 6.7

Simplifica.

$e^{4 t} y = \frac{11}{4} e^{u} + C$

Paso 6.8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $4 t$ .

$e^{4 t} y = \frac{11}{4} e^{4 t} + C$

Paso 7

Divide cada término en $e^{4 t} y = \frac{11}{4} e^{4 t} + C$ por $e^{4 t}$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $e^{4 t} y = \frac{11}{4} e^{4 t} + C$ por $e^{4 t}$ .

$\frac{e^{4 t} y}{e^{4 t}} = \frac{\frac{11}{4} e^{4 t}}{e^{4 t}} + \frac{C}{e^{4 t}}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $e^{4 t}$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{4 t} y}{e^{4 t}} = \frac{\frac{11}{4} e^{4 t}}{e^{4 t}} + \frac{C}{e^{4 t}}$

Paso 7.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{11}{4} e^{4 t}}{e^{4 t}} + \frac{C}{e^{4 t}}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.1

Cancela el factor común de $e^{4 t}$ .

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Paso 7.3.1.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{\frac{11}{4} e^{4 t}}{e^{4 t}} + \frac{C}{e^{4 t}}$

Paso 7.3.1.2

Divide $\frac{11}{4}$ por $1$ .

$y = \frac{11}{4} + \frac{C}{e^{4 t}}$

Paso 8

Usa la condición inicial para obtener el valor de $C$ mediante la sustitución de $0$ por $t$ y de $1$ por $y$ en $y = \frac{11}{4} + \frac{C}{e^{4 t}}$ .

$1 = \frac{11}{4} + \frac{C}{e^{4 \cdot 0}}$

Paso 9

Resuelve $C$

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Paso 9.1

Reescribe la ecuación como $\frac{11}{4} + \frac{C}{e^{4 \cdot 0}} = 1$ .

$\frac{11}{4} + \frac{C}{e^{4 \cdot 0}} = 1$

Paso 9.2

Simplifica cada término.

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Paso 9.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 9.2.1.1

Multiplica $4$ por $0$ .

$\frac{11}{4} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Paso 9.2.1.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{11}{4} + \frac{C}{1} = 1$

Paso 9.2.2

Divide $C$ por $1$ .

$\frac{11}{4} + C = 1$

Paso 9.3

Mueve todos los términos que no contengan $C$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.3.1

Resta $\frac{11}{4}$ de ambos lados de la ecuación.

$C = 1 - \frac{11}{4}$

Paso 9.3.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$C = \frac{4}{4} - \frac{11}{4}$

Paso 9.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$C = \frac{4 - 11}{4}$

Paso 9.3.4

Resta $11$ de $4$ .

$C = \frac{- 7}{4}$

Paso 9.3.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$C = - \frac{7}{4}$

Paso 10

Sustituye $- \frac{7}{4}$ por $C$ en $y = \frac{11}{4} + \frac{C}{e^{4 t}}$ y simplifica.

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Paso 10.1

Sustituye $- \frac{7}{4}$ por $C$ .

$y = \frac{11}{4} + \frac{- \frac{7}{4}}{e^{4 t}}$

Paso 10.2

Simplifica cada término.

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Paso 10.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = \frac{11}{4} - \frac{7}{4} \cdot \frac{1}{e^{4 t}}$

Paso 10.2.2

Multiplica $\frac{1}{e^{4 t}}$ por $\frac{7}{4}$ .

$y = \frac{11}{4} - \frac{7}{e^{4 t} \cdot 4}$

Paso 10.2.3

Mueve $4$ a la izquierda de $e^{4 t}$ .

$y = \frac{11}{4} - \frac{7}{4 e^{4 t}}$