Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 y}{x}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{- 2 y}{x}$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.2.1.1

Factoriza $y$ de $- 2 y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y \cdot - 2}{x}$

Paso 1.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y \cdot - 2}{x}$

Paso 1.2.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 2}{x}$

Paso 1.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{2}{x}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{2}{x} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{2}{x} d x$

Paso 2.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{2}{x} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{2}{x} d x$

Paso 2.3.2

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (2 \int \frac{1}{x} d x)$

Paso 2.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{x} d x$

Paso 2.3.4

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\ln (| x |) + C_{2})$

Paso 2.3.5

Simplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \ln (| x |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y |) = - 2 \ln (| x |) + C$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| y |) + 2 \ln (| x |) = C$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica $\ln (| y |) + 2 \ln (| x |)$ .

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Paso 3.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1.1

Simplifica $2 \ln (| x |)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\ln (| y |) + \ln ({| x |}^{2}) = C$

Paso 3.2.1.1.2

Elimina el valor absoluto en ${| x |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$\ln (| y |) + \ln (x^{2}) = C$

Paso 3.2.1.2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | x^{2}) = C$

Paso 3.2.1.3

Reordena los factores en $\ln (| y | x^{2})$ .

$\ln (x^{2} | y |) = C$

Paso 3.3

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (x^{2} | y |)} = e^{C}$

Paso 3.4

Reescribe $\ln (x^{2} | y |) = C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = x^{2} | y |$

Paso 3.5

Resuelve $y$

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Paso 3.5.1

Reescribe la ecuación como $x^{2} | y | = e^{C}$ .

$x^{2} | y | = e^{C}$

Paso 3.5.2

Divide cada término en $x^{2} | y | = e^{C}$ por $x^{2}$ y simplifica.

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Paso 3.5.2.1

Divide cada término en $x^{2} | y | = e^{C}$ por $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} | y |}{x^{2}} = \frac{e^{C}}{x^{2}}$

Paso 3.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.2.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 3.5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} | y |}{x^{2}} = \frac{e^{C}}{x^{2}}$

Paso 3.5.2.2.1.2

Divide $| y |$ por $1$ .

$| y | = \frac{e^{C}}{x^{2}}$

Paso 3.5.3

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \frac{e^{C}}{x^{2}}$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Simplifica la constante de integración.

$y = \pm \frac{C}{x^{2}}$

Paso 4.2

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = C \frac{1}{x^{2}}$