Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = e^{- 2 x}$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = e^{- 2 x} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int e^{- 2 x} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int e^{- 2 x} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Sea $u = - 2 x$ . Entonces $d u = - 2 d x$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.1.1

Deja $u = - 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Diferencia $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Paso 2.3.1.1.2

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Paso 2.3.1.1.4

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 2$

Paso 2.3.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$y + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Paso 2.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.2.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y + C_{1} = \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Paso 2.3.2.2

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \int - \frac{e^{u}}{2} d u$

Paso 2.3.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = - \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Paso 2.3.4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Paso 2.3.5

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2})$

Paso 2.3.6

Simplifica.

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} e^{u} + C_{2}$

Paso 2.3.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 2 x$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + K$