Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x} y = 2$

Paso 1

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = - \frac{1}{x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Establece la integración.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Paso 1.2

Integra $- \frac{1}{x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Paso 1.2.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Paso 1.2.3

Simplifica.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Paso 1.3

Elimina la constante de integración.

$e^{- \ln (x)}$

Paso 1.4

Usa la regla de la potencia del logaritmo.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Paso 1.5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$x^{- 1}$

Paso 1.6

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Paso 2

Multiplica cada término por el factor integrador $\frac{1}{x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Multiplica cada término por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot 2$

Paso 2.2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Combina $\frac{1}{x}$ y $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot 2$

Paso 2.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} \cdot 2$

Paso 2.2.3

Combina $\frac{1}{x}$ y $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} \cdot 2$

Paso 2.2.4

Multiplica $- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.4.1

Multiplica $\frac{y}{x}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} \cdot 2$

Paso 2.2.4.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} \cdot 2$

Paso 2.2.4.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} \cdot 2$

Paso 2.2.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} \cdot 2$

Paso 2.2.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} \cdot 2$

Paso 2.3

Combina $\frac{1}{x}$ y $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{2}{x}$

Paso 3

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = \frac{2}{x}$

Paso 4

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int \frac{2}{x} d x$

Paso 5

Integra el lado izquierdo.

$\frac{1}{x} y = \int \frac{2}{x} d x$

Paso 6

Integra el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$\frac{1}{x} y = 2 \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{x} y = 2 (\ln (| x |) + C)$

Paso 6.3

Simplifica.

$\frac{1}{x} y = 2 \ln (| x |) + C$

Paso 7

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Combina $\frac{1}{x}$ y $y$ .

$\frac{y}{x} = 2 \ln (| x |) + C$

Paso 7.2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Simplifica $2 \ln (| x |)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\frac{y}{x} = \ln ({| x |}^{2}) + C$

Paso 7.2.2

Elimina el valor absoluto en ${| x |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$\frac{y}{x} = \ln (x^{2}) + C$

Paso 7.3

Multiplica ambos lados por $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\ln (x^{2}) + C) x$

Paso 7.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.4.1.1

Cancela el factor común de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.4.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y}{x} x = (\ln (x^{2}) + C) x$

Paso 7.4.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y = (\ln (x^{2}) + C) x$

Paso 7.4.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.4.2.1

Simplifica $(\ln (x^{2}) + C) x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.4.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \ln (x^{2}) x + C x$

Paso 7.4.2.1.2

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.4.2.1.2.1

Reordena los factores en $\ln (x^{2}) x + C x$ .

$y = x \ln (x^{2}) + C x$

Paso 7.4.2.1.2.2

Reordena $x \ln (x^{2})$ y $C x$ .

$y = C x + x \ln (x^{2})$