Cálculo Ejemplos

$\frac{d x}{d t} = 37.5 - 3.5 x$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{37.5 - 3.5 x}$ .

$\frac{1}{37.5 - 3.5 x} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{37.5 - 3.5 x} (37.5 - 3.5 x)$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $37.5 - 3.5 x$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{37.5 - 3.5 x} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{37.5 - 3.5 x} (37.5 - 3.5 x)$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{37.5 - 3.5 x} \frac{d x}{d t} = 1$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{37.5 - 3.5 x} d x = 1 d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{37.5 - 3.5 x} d x = \int d t$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u = 37.5 - 3.5 x$ . Entonces $d u = - 3.5 d x$ , de modo que $\frac{1}{- 3.5} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u = 37.5 - 3.5 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $37.5 - 3.5 x$ .

$\frac{d}{d x} [37.5 - 3.5 x]$

Paso 2.2.1.1.2

Diferencia.

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Paso 2.2.1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $37.5 - 3.5 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [37.5] + \frac{d}{d x} [- 3.5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [37.5] + \frac{d}{d x} [- 3.5 x]$

Paso 2.2.1.1.2.2

Como $37.5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $37.5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3.5 x]$

Paso 2.2.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 3.5 x]$ .

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Paso 2.2.1.1.3.1

Como $- 3.5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3.5 x$ con respecto a $x$ es $- 3.5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 3.5 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.2.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 - 3.5 \cdot 1$

Paso 2.2.1.1.3.3

Multiplica $- 3.5$ por $1$ .

$0 - 3.5$

Paso 2.2.1.1.4

Resta $3.5$ de $0$ .

$- 3.5$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 3.5} d u = \int d t$

Paso 2.2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.2.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{3.5}) d u = \int d t$

Paso 2.2.2.2

Multiplica $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{3.5}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 3.5} d u = \int d t$

Paso 2.2.2.3

Mueve $3.5$ a la izquierda de $u$ .

$\int - \frac{1}{3.5 u} d u = \int d t$

Paso 2.2.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{1}{3.5 u} d u = \int d t$

Paso 2.2.4

Dado que $\frac{1}{3.5}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3.5}$ fuera de la integral.

$- (\frac{1}{3.5} \int \frac{1}{u} d u) = \int d t$

Paso 2.2.5

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{3.5} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d t$

Paso 2.2.6

Simplifica.

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Paso 2.2.6.1

Reescribe $- \frac{1}{3.5} (\ln (| u |) + C_{1})$ como $- 1 \cdot 0.\overline{285714} \ln (| u |) + C_{1}$ .

$- 1 \cdot 0.\overline{285714} \ln (| u |) + C_{1} = \int d t$

Paso 2.2.6.2

Multiplica $- 1$ por $0.\overline{285714}$ .

$- 0.\overline{285714} \ln (| u |) + C_{1} = \int d t$

Paso 2.2.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $37.5 - 3.5 x$ .

$- 0.\overline{285714} \ln (| 37.5 - 3.5 x |) + C_{1} = \int d t$

Paso 2.3

Aplica la regla de la constante.

$- 0.\overline{285714} \ln (| 37.5 - 3.5 x |) + C_{1} = t + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$- 0.\overline{285714} \ln (| 37.5 - 3.5 x |) = t + C$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Divide cada término en $- 0.\overline{285714} \ln (| 37.5 - 3.5 x |) = t + C$ por $- 0.\overline{285714}$ y simplifica.

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Paso 3.1.1

Divide cada término en $- 0.\overline{285714} \ln (| 37.5 - 3.5 x |) = t + C$ por $- 0.\overline{285714}$ .

$\frac{- 0.\overline{285714} \ln (| 37.5 - 3.5 x |)}{- 0.\overline{285714}} = \frac{t}{- 0.\overline{285714}} + \frac{C}{- 0.\overline{285714}}$

Paso 3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.2.1

Cancela el factor común de $- 0.\overline{285714}$ .

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Paso 3.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 0.\overline{285714} \ln (| 37.5 - 3.5 x |)}{- 0.\overline{285714}} = \frac{t}{- 0.\overline{285714}} + \frac{C}{- 0.\overline{285714}}$

Paso 3.1.2.1.2

Divide $\ln (| 37.5 - 3.5 x |)$ por $1$ .

$\ln (| 37.5 - 3.5 x |) = \frac{t}{- 0.\overline{285714}} + \frac{C}{- 0.\overline{285714}}$

Paso 3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\ln (| 37.5 - 3.5 x |) = - \frac{t}{0.\overline{285714}} + \frac{C}{- 0.\overline{285714}}$

Paso 3.1.3.1.2

Multiplica por $1$ .

$\ln (| 37.5 - 3.5 x |) = - \frac{1 t}{0.\overline{285714}} + \frac{C}{- 0.\overline{285714}}$

Paso 3.1.3.1.3

Factoriza $0.\overline{285714}$ de $0.\overline{285714}$ .

$\ln (| 37.5 - 3.5 x |) = - \frac{1 t}{0.\overline{285714} (1)} + \frac{C}{- 0.\overline{285714}}$

Paso 3.1.3.1.4

Separa las fracciones.

$\ln (| 37.5 - 3.5 x |) = - (\frac{1}{0.\overline{285714}} \cdot \frac{t}{1}) + \frac{C}{- 0.\overline{285714}}$

Paso 3.1.3.1.5

Divide $1$ por $0.\overline{285714}$ .

$\ln (| 37.5 - 3.5 x |) = - (3.5 \frac{t}{1}) + \frac{C}{- 0.\overline{285714}}$

Paso 3.1.3.1.6

Divide $t$ por $1$ .

$\ln (| 37.5 - 3.5 x |) = - (3.5 t) + \frac{C}{- 0.\overline{285714}}$

Paso 3.1.3.1.7

Multiplica $3.5$ por $- 1$ .

$\ln (| 37.5 - 3.5 x |) = - 3.5 t + \frac{C}{- 0.\overline{285714}}$

Paso 3.1.3.1.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\ln (| 37.5 - 3.5 x |) = - 3.5 t - \frac{C}{0.\overline{285714}}$

Paso 3.1.3.1.9

Multiplica por $1$ .

$\ln (| 37.5 - 3.5 x |) = - 3.5 t - \frac{1 C}{0.\overline{285714}}$

Paso 3.1.3.1.10

Factoriza $0.\overline{285714}$ de $0.\overline{285714}$ .

$\ln (| 37.5 - 3.5 x |) = - 3.5 t - \frac{1 C}{0.\overline{285714} (1)}$

Paso 3.1.3.1.11

Separa las fracciones.

$\ln (| 37.5 - 3.5 x |) = - 3.5 t - (\frac{1}{0.\overline{285714}} \cdot \frac{C}{1})$

Paso 3.1.3.1.12

Divide $1$ por $0.\overline{285714}$ .

$\ln (| 37.5 - 3.5 x |) = - 3.5 t - (3.5 \frac{C}{1})$

Paso 3.1.3.1.13

Divide $C$ por $1$ .

$\ln (| 37.5 - 3.5 x |) = - 3.5 t - (3.5 C)$

Paso 3.1.3.1.14

Multiplica $3.5$ por $- 1$ .

$\ln (| 37.5 - 3.5 x |) = - 3.5 t - 3.5 C$

Paso 3.2

Para resolver $x$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| 37.5 - 3.5 x |)} = e^{- 3.5 t - 3.5 C}$

Paso 3.3

Reescribe $\ln (| 37.5 - 3.5 x |) = - 3.5 t - 3.5 C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 3.5 t - 3.5 C} = | 37.5 - 3.5 x |$

Paso 3.4

Resuelve $x$

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Paso 3.4.1

Reescribe la ecuación como $| 37.5 - 3.5 x | = e^{- 3.5 t - 3.5 C}$ .

$| 37.5 - 3.5 x | = e^{- 3.5 t - 3.5 C}$

Paso 3.4.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$37.5 - 3.5 x = \pm e^{- 3.5 t - 3.5 C}$

Paso 3.4.3

Resta $37.5$ de ambos lados de la ecuación.

$- 3.5 x = \pm e^{- 3.5 t - 3.5 C} - 37.5$

Paso 3.4.4

Divide cada término en $- 3.5 x = \pm e^{- 3.5 t - 3.5 C} - 37.5$ por $- 3.5$ y simplifica.

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Paso 3.4.4.1

Divide cada término en $- 3.5 x = \pm e^{- 3.5 t - 3.5 C} - 37.5$ por $- 3.5$ .

$\frac{- 3.5 x}{- 3.5} = \frac{\pm e^{- 3.5 t - 3.5 C}}{- 3.5} + \frac{- 37.5}{- 3.5}$

Paso 3.4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.4.2.1

Cancela el factor común de $- 3.5$ .

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Paso 3.4.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 3.5 x}{- 3.5} = \frac{\pm e^{- 3.5 t - 3.5 C}}{- 3.5} + \frac{- 37.5}{- 3.5}$

Paso 3.4.4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{\pm e^{- 3.5 t - 3.5 C}}{- 3.5} + \frac{- 37.5}{- 3.5}$

Paso 3.4.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.4.3.1.1

Simplifica $\frac{\pm e^{- 3.5 t - 3.5 C}}{- 3.5}$ .

$x = \frac{\pm e^{- 3.5 t - 3.5 C}}{3.5} + \frac{- 37.5}{- 3.5}$

Paso 3.4.4.3.1.2

Multiplica por $1$ .

$x = \frac{1 (\pm e^{- 3.5 t - 3.5 C})}{3.5} + \frac{- 37.5}{- 3.5}$

Paso 3.4.4.3.1.3

Factoriza $3.5$ de $3.5$ .

$x = \frac{1 (\pm e^{- 3.5 t - 3.5 C})}{3.5 (1)} + \frac{- 37.5}{- 3.5}$

Paso 3.4.4.3.1.4

Separa las fracciones.

$x = \frac{1}{3.5} \cdot \frac{\pm e^{- 3.5 t - 3.5 C}}{1} + \frac{- 37.5}{- 3.5}$

Paso 3.4.4.3.1.5

Divide $1$ por $3.5$ .

$x = 0.\overline{285714} \frac{\pm e^{- 3.5 t - 3.5 C}}{1} + \frac{- 37.5}{- 3.5}$

Paso 3.4.4.3.1.6

Divide $\pm e^{- 3.5 t - 3.5 C}$ por $1$ .

$x = 0.\overline{285714} (\pm e^{- 3.5 t - 3.5 C}) + \frac{- 37.5}{- 3.5}$

Paso 3.4.4.3.1.7

Divide $- 37.5$ por $- 3.5$ .

$x = 0.\overline{285714} (\pm e^{- 3.5 t - 3.5 C}) + 10.\overline{714285}$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Simplifica la constante de integración.

$x = 0.\overline{285714} (\pm e^{- 3.5 t + C}) + 10.\overline{714285}$

Paso 4.2

Reescribe $e^{- 3.5 t + C}$ como $e^{- 3.5 t} e^{C}$ .

$x = 0.\overline{285714} (\pm e^{- 3.5 t} e^{C}) + 10.\overline{714285}$

Paso 4.3

Reordena $e^{- 3.5 t}$ y $e^{C}$ .

$x = 0.\overline{285714} (\pm e^{C} e^{- 3.5 t}) + 10.\overline{714285}$

Paso 4.4

Combina constantes con el signo más o menos.

$x = 0.\overline{285714} (C e^{- 3.5 t}) + 10.\overline{714285}$