Cálculo Ejemplos

$t^{2} \frac{d y}{d t} - t = 1 + y + t y$

Paso 1

Separa las variables.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Resuelve $\frac{d y}{d t}$

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Suma $t$ a ambos lados de la ecuación.

$t^{2} \frac{d y}{d t} = 1 + y + t y + t$

Paso 1.1.2

Divide cada término en $t^{2} \frac{d y}{d t} = 1 + y + t y + t$ por $t^{2}$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.1

Divide cada término en $t^{2} \frac{d y}{d t} = 1 + y + t y + t$ por $t^{2}$ .

$\frac{t^{2} \frac{d y}{d t}}{t^{2}} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{t y}{t^{2}} + \frac{t}{t^{2}}$

Paso 1.1.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.2.1

Cancela el factor común de $t^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{t^{2} \frac{d y}{d t}}{t^{2}} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{t y}{t^{2}} + \frac{t}{t^{2}}$

Paso 1.1.2.2.1.2

Divide $\frac{d y}{d t}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{t y}{t^{2}} + \frac{t}{t^{2}}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.3.1.1

Cancela el factor común de $t$ y $t^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.3.1.1.1

Factoriza $t$ de $t y$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{t (y)}{t^{2}} + \frac{t}{t^{2}}$

Paso 1.1.2.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.3.1.1.2.1

Factoriza $t$ de $t^{2}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{t (y)}{t \cdot t} + \frac{t}{t^{2}}$

Paso 1.1.2.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{t y}{t \cdot t} + \frac{t}{t^{2}}$

Paso 1.1.2.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{y}{t} + \frac{t}{t^{2}}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Cancela el factor común de $t$ y $t^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.3.1.2.1

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{y}{t} + \frac{t^{1}}{t^{2}}$

Paso 1.1.2.3.1.2.2

Factoriza $t$ de $t^{1}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{y}{t} + \frac{t \cdot 1}{t^{2}}$

Paso 1.1.2.3.1.2.3

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.2.3.1.2.3.1

Factoriza $t$ de $t^{2}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{y}{t} + \frac{t \cdot 1}{t \cdot t}$

Paso 1.1.2.3.1.2.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{y}{t} + \frac{t \cdot 1}{t \cdot t}$

Paso 1.1.2.3.1.2.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d t} = \frac{1}{t^{2}} + \frac{y}{t^{2}} + \frac{y}{t} + \frac{1}{t}$

Paso 1.2

Factoriza.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y}{t^{2}} + \frac{y}{t} + \frac{1}{t}$

Paso 1.2.2

Para escribir $\frac{y}{t}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{t}{t}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y}{t^{2}} + \frac{y}{t} \cdot \frac{t}{t} + \frac{1}{t}$

Paso 1.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $t^{2}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.1

Multiplica $\frac{y}{t}$ por $\frac{t}{t}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y}{t^{2}} + \frac{y t}{t \cdot t} + \frac{1}{t}$

Paso 1.2.3.2

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y}{t^{2}} + \frac{y t}{t^{1} t} + \frac{1}{t}$

Paso 1.2.3.3

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y}{t^{2}} + \frac{y t}{t^{1} t^{1}} + \frac{1}{t}$

Paso 1.2.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y}{t^{2}} + \frac{y t}{t^{1 + 1}} + \frac{1}{t}$

Paso 1.2.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y}{t^{2}} + \frac{y t}{t^{2}} + \frac{1}{t}$

Paso 1.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y + y t}{t^{2}} + \frac{1}{t}$

Paso 1.2.5

Para escribir $\frac{1}{t}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{t}{t}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y + y t}{t^{2}} + \frac{1}{t} \cdot \frac{t}{t}$

Paso 1.2.6

Escribe cada expresión con un denominador común de $t^{2}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.6.1

Multiplica $\frac{1}{t}$ por $\frac{t}{t}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y + y t}{t^{2}} + \frac{t}{t \cdot t}$

Paso 1.2.6.2

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y + y t}{t^{2}} + \frac{t}{t^{1} t}$

Paso 1.2.6.3

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y + y t}{t^{2}} + \frac{t}{t^{1} t^{1}}$

Paso 1.2.6.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y + y t}{t^{2}} + \frac{t}{t^{1 + 1}}$

Paso 1.2.6.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y + y t}{t^{2}} + \frac{t}{t^{2}}$

Paso 1.2.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 + y + y t + t}{t^{2}}$

Paso 1.2.8

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.8.1

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.8.1.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{d y}{d t} = \frac{(1 + y) + y t + t}{t^{2}}$

Paso 1.2.8.1.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{d y}{d t} = \frac{1 (y + 1) + t (y + 1)}{t^{2}}$

Paso 1.2.8.2

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $y + 1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{(y + 1) (1 + t)}{t^{2}}$

Paso 1.3

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d t} = (y + 1) \frac{1 + t}{t^{2}}$

Paso 1.4

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y + 1}$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) \frac{1 + t}{t^{2}})$

Paso 1.5

Cancela el factor común de $y + 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) \frac{1 + t}{t^{2}})$

Paso 1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d t} = \frac{1 + t}{t^{2}}$

Paso 1.6

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y + 1} d y = \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Sea $u = y + 1$ . Entonces $d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1

Deja $u = y + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Paso 2.2.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y + 1$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 2.2.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 2.2.1.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.2.1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Paso 2.2.2

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y + 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.1

Mueve $t^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int (1 + t) {(t^{2})}^{- 1} d t$

Paso 2.3.1.2

Multiplica los exponentes en ${(t^{2})}^{- 1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int (1 + t) t^{2 \cdot - 1} d t$

Paso 2.3.1.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int (1 + t) t^{- 2} d t$

Paso 2.3.2

Multiplica $(1 + t) t^{- 2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int 1 t^{- 2} + t \cdot t^{- 2} d t$

Paso 2.3.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.3.1

Multiplica $t^{- 2}$ por $1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int t^{- 2} + t \cdot t^{- 2} d t$

Paso 2.3.3.2

Multiplica $t$ por $t^{- 2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.3.2.1

Multiplica $t$ por $t^{- 2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.3.2.1.1

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int t^{- 2} + t^{1} t^{- 2} d t$

Paso 2.3.3.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int t^{- 2} + t^{1 - 2} d t$

Paso 2.3.3.2.2

Resta $2$ de $1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int t^{- 2} + t^{- 1} d t$

Paso 2.3.4

Divide la única integral en varias integrales.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int t^{- 2} d t + \int t^{- 1} d t$

Paso 2.3.5

Según la regla de la potencia, la integral de $t^{- 2}$ con respecto a $t$ es $- t^{- 1}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - t^{- 1} + C_{2} + \int t^{- 1} d t$

Paso 2.3.6

La integral de $t^{- 1}$ con respecto a $t$ es $\ln (| t |)$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - t^{- 1} + C_{2} + \ln (| t |) + C_{3}$

Paso 2.3.7

Simplifica.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \frac{1}{t} + \ln (| t |) + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y + 1 |) = - \frac{1}{t} + \ln (| t |) + C$

Paso 3

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| y + 1 |) - \ln (| t |) = - \frac{1}{t} + C$

Paso 3.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y + 1 |}{| t |}) = - \frac{1}{t} + C$

Paso 3.3

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| y + 1 |}{| t |})} = e^{- \frac{1}{t} + C}$

Paso 3.4

Reescribe $\ln (\frac{| y + 1 |}{| t |}) = - \frac{1}{t} + C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{t} + C} = \frac{| y + 1 |}{| t |}$

Paso 3.5

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.1

Reescribe la ecuación como $\frac{| y + 1 |}{| t |} = e^{- \frac{1}{t} + C}$ .

$\frac{| y + 1 |}{| t |} = e^{- \frac{1}{t} + C}$

Paso 3.5.2

Multiplica ambos lados por $| t |$ .

$\frac{| y + 1 |}{| t |} | t | = e^{- \frac{1}{t} + C} | t |$

Paso 3.5.3

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.3.1

Cancela el factor común de $| t |$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{| y + 1 |}{| t |} | t | = e^{- \frac{1}{t} + C} | t |$

Paso 3.5.3.1.2

Reescribe la expresión.

$| y + 1 | = e^{- \frac{1}{t} + C} | t |$

Paso 3.5.4

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.4.1

Reordena los factores en $e^{- \frac{1}{t} + C} | t |$ .

$| y + 1 | = | t | e^{- \frac{1}{t} + C}$

Paso 3.5.4.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y + 1 = \pm | t | e^{- \frac{1}{t} + C}$

Paso 3.5.4.3

Reordena los factores en $\pm | t | e^{- \frac{1}{t} + C}$ .

$y + 1 = \pm e^{- \frac{1}{t} + C} | t |$

Paso 3.5.4.4

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$y = \pm e^{- \frac{1}{t} + C} | t | - 1$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Reescribe $e^{- \frac{1}{t} + C}$ como $e^{- \frac{1}{t}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- \frac{1}{t}} e^{C} | t | - 1$

Paso 4.2

Reordena $e^{- \frac{1}{t}}$ y $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{1}{t}} | t | - 1$

Paso 4.3

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = C e^{- \frac{1}{t}} | t | - 1$