Cálculo Ejemplos

$\frac{d x}{d t} = - x$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x} (- x)$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{x} \frac{d x}{d t} = - \frac{1}{x} x$

Paso 1.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.2.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{x}$ al numerador.

$\frac{1}{x} \frac{d x}{d t} = \frac{- 1}{x} x$

Paso 1.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{x} \frac{d x}{d t} = \frac{- 1}{x} x$

Paso 1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{x} \frac{d x}{d t} = - 1$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{x} d x = - d t$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{x} d x = \int - 1 d t$

Paso 2.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C_{1} = \int - 1 d t$

Paso 2.3

Aplica la regla de la constante.

$\ln (| x |) + C_{1} = - t + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| x |) = - t + C$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Para resolver $x$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| x |)} = e^{- t + C}$

Paso 3.2

Reescribe $\ln (| x |) = - t + C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- t + C} = | x |$

Paso 3.3

Resuelve $x$

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $| x | = e^{- t + C}$ .

$| x | = e^{- t + C}$

Paso 3.3.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$x = \pm e^{- t + C}$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 4.1

Reescribe $e^{- t + C}$ como $e^{- t} e^{C}$ .

$x = \pm e^{- t} e^{C}$

Paso 4.2

Reordena $e^{- t}$ y $e^{C}$ .

$x = \pm e^{C} e^{- t}$

Paso 4.3

Combina constantes con el signo más o menos.

$x = C e^{- t}$