Cálculo Ejemplos

$y e^{x} d x + e^{x} d y = 0$

Paso 1

Resta $y e^{x} d x$ de ambos lados de la ecuación.

$e^{x} d y = - y e^{x} d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{e^{x} y}$ .

$\frac{1}{e^{x} y} e^{x} d y = \frac{1}{e^{x} y} (- y e^{x}) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $e^{x}$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} y$ .

$\frac{1}{e^{x} (y)} e^{x} d y = \frac{1}{e^{x} y} (- y e^{x}) d x$

Paso 3.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{e^{x} y} e^{x} d y = \frac{1}{e^{x} y} (- y e^{x}) d x$

Paso 3.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{e^{x} y} (- y e^{x}) d x$

Paso 3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{e^{x} y} (y e^{x}) d x$

Paso 3.3

Cancela el factor común de $y e^{x}$ .

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Paso 3.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{e^{x} y}$ al numerador.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{e^{x} y} (y e^{x}) d x$

Paso 3.3.2

Factoriza $y e^{x}$ de $e^{x} y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y e^{x} (1)} (y e^{x}) d x$

Paso 3.3.3

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y e^{x} \cdot 1} (y e^{x}) d x$

Paso 3.3.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} d y = - 1 d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - 1 d x$

Paso 4.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - 1 d x$

Paso 4.3

Aplica la regla de la constante.

$\ln (| y |) + C_{1} = - x + C_{2}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y |) = - x + C$

Paso 5

Resuelve $y$

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Paso 5.1

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- x + C}$

Paso 5.2

Reescribe $\ln (| y |) = - x + C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- x + C} = | y |$

Paso 5.3

Resuelve $y$

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Paso 5.3.1

Reescribe la ecuación como $| y | = e^{- x + C}$ .

$| y | = e^{- x + C}$

Paso 5.3.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- x + C}$

Paso 6

Agrupa los términos de la constante.

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Paso 6.1

Reescribe $e^{- x + C}$ como $e^{- x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- x} e^{C}$

Paso 6.2

Reordena $e^{- x}$ y $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- x}$

Paso 6.3

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = C e^{- x}$