Cálculo Ejemplos

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 3 \frac{d y}{d x} = 0$

Paso 1

Sea $v = \frac{d y}{d x}$ . Luego $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ . Sustituye $v$ por $\frac{d y}{d x}$ y $\frac{d v}{d x}$ por $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ para obtener una ecuación diferencial con variable dependiente $v$ y variable independiente $x$ .

$\frac{d v}{d x} + 3 v = 0$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = 3$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int 3 d x}$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$e^{3 x + C_{1}}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{3 x}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{3 x}$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $e^{3 x}$ .

$e^{3 x} \frac{d v}{d x} + e^{3 x} (3 v) = e^{3 x} \cdot 0$

Paso 3.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{3 x} \frac{d v}{d x} + 3 e^{3 x} v = e^{3 x} \cdot 0$

Paso 3.3

Multiplica $e^{3 x}$ por $0$ .

$e^{3 x} \frac{d v}{d x} + 3 e^{3 x} v = 0$

Paso 3.4

Reordena los factores en $e^{3 x} \frac{d v}{d x} + 3 e^{3 x} v = 0$ .

$e^{3 x} \frac{d v}{d x} + 3 v e^{3 x} = 0$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} v] = 0$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{3 x} v] d x = \int 0 d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$e^{3 x} v = \int 0 d x$

Paso 7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.1

La integral de $0$ con respecto a $x$ es $0$ .

$e^{3 x} v = 0 + C_{2}$

Paso 7.2

Suma $0$ y $C_{2}$ .

$e^{3 x} v = C_{2}$

Paso 8

Divide cada término en $e^{3 x} v = C_{2}$ por $e^{3 x}$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $e^{3 x} v = C_{2}$ por $e^{3 x}$ .

$\frac{e^{3 x} v}{e^{3 x}} = \frac{C_{2}}{e^{3 x}}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $e^{3 x}$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{3 x} v}{e^{3 x}} = \frac{C_{2}}{e^{3 x}}$

Paso 8.2.1.2

Divide $v$ por $1$ .

$v = \frac{C_{2}}{e^{3 x}}$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $v$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{C_{2}}{e^{3 x}}$

Paso 10

Reescribe la ecuación.

$d y = \frac{C_{2}}{e^{3 x}} d x$

Paso 11

Integra ambos lados.

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Paso 11.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int \frac{C_{2}}{e^{3 x}} d x$

Paso 11.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{3} = \int \frac{C_{2}}{e^{3 x}} d x$

Paso 11.3

Integra el lado derecho.

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Paso 11.3.1

Dado que $C_{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $C_{2}$ fuera de la integral.

$y + C_{3} = C_{2} \int \frac{1}{e^{3 x}} d x$

Paso 11.3.2

Simplifica la expresión.

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Paso 11.3.2.1

Niega el exponente de $e^{3 x}$ y quítalo del denominador.

$y + C_{3} = C_{2} \int 1 {(e^{3 x})}^{- 1} d x$

Paso 11.3.2.2

Simplifica.

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Paso 11.3.2.2.1

Multiplica los exponentes en ${(e^{3 x})}^{- 1}$ .

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Paso 11.3.2.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{3} = C_{2} \int 1 e^{3 x \cdot - 1} d x$

Paso 11.3.2.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$y + C_{3} = C_{2} \int 1 e^{- 3 x} d x$

Paso 11.3.2.2.2

Multiplica $e^{- 3 x}$ por $1$ .

$y + C_{3} = C_{2} \int e^{- 3 x} d x$

Paso 11.3.3

Sea $u = - 3 x$ . Entonces $d u = - 3 d x$ , de modo que $- \frac{1}{3} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 11.3.3.1

Deja $u = - 3 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 11.3.3.1.1

Diferencia $- 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$

Paso 11.3.3.1.2

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 11.3.3.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 3 \cdot 1$

Paso 11.3.3.1.4

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$- 3$

Paso 11.3.3.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$y + C_{3} = C_{2} \int e^{u} \frac{1}{- 3} d u$

Paso 11.3.4

Simplifica.

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Paso 11.3.4.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y + C_{3} = C_{2} \int e^{u} (- \frac{1}{3}) d u$

Paso 11.3.4.2

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{3} = C_{2} \int - \frac{e^{u}}{3} d u$

Paso 11.3.5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{3} = C_{2} (- \int \frac{e^{u}}{3} d u)$

Paso 11.3.6

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$y + C_{3} = C_{2} (- (\frac{1}{3} \int e^{u} d u))$

Paso 11.3.7

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$y + C_{3} = C_{2} (- \frac{1}{3} (e^{u} + C_{4}))$

Paso 11.3.8

Simplifica.

$y + C_{3} = C_{2} (- \frac{1}{3} e^{u}) + C_{5}$

Paso 11.3.9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 3 x$ .

$y + C_{3} = C_{2} (- \frac{1}{3} e^{- 3 x}) + C_{5}$

Paso 11.3.10

Reordena los términos.

$y + C_{3} = - \frac{1}{3} e^{- 3 x} C_{2} + C_{5}$

Paso 11.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $D$ .

$y = - \frac{1}{3} e^{- 3 x} C + D$