Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} + 2 = 3 x$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Paso 1.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{x} = 3 x - 2$

Paso 1.2

Factoriza $y$ de $\frac{3 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{3}{x} = 3 x - 2$

Paso 1.3

Reordena $y$ y $\frac{3}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3}{x} y = 3 x - 2$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = \frac{3}{x}$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int \frac{3}{x} d x}$

Paso 2.2

Integra $\frac{3}{x}$ .

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Paso 2.2.1

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$e^{3 \int \frac{1}{x} d x}$

Paso 2.2.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$e^{3 (\ln (| x |) + C)}$

Paso 2.2.3

Simplifica.

$e^{3 \ln (| x |) + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{3 \ln (x)}$

Paso 2.4

Usa la regla de la potencia del logaritmo.

$e^{\ln (x^{3})}$

Paso 2.5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$x^{3}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $x^{3}$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{3} (\frac{3}{x} y) = x^{3} (3 x) + x^{3} \cdot - 2$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Combina $\frac{3}{x}$ y $y$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{3} \frac{3 y}{x} = x^{3} (3 x) + x^{3} \cdot - 2$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.2.2.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 y}{x} = x^{3} (3 x) + x^{3} \cdot - 2$

Paso 3.2.2.2

Cancela el factor común.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{2} \frac{3 y}{x} = x^{3} (3 x) + x^{3} \cdot - 2$

Paso 3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + x^{2} (3 y) = x^{3} (3 x) + x^{3} \cdot - 2$

Paso 3.2.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = x^{3} (3 x) + x^{3} \cdot - 2$

Paso 3.3

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = 3 x^{3} x + x^{3} \cdot - 2$

Paso 3.3.2

Multiplica $x^{3}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.2.1

Mueve $x$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = 3 (x \cdot x^{3}) + x^{3} \cdot - 2$

Paso 3.3.2.2

Multiplica $x$ por $x^{3}$ .

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Paso 3.3.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = 3 (x^{1} x^{3}) + x^{3} \cdot - 2$

Paso 3.3.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = 3 x^{1 + 3} + x^{3} \cdot - 2$

Paso 3.3.2.3

Suma $1$ y $3$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = 3 x^{4} + x^{3} \cdot - 2$

Paso 3.3.3

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x^{3}$ .

$x^{3} \frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y = 3 x^{4} - 2 x^{3}$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [x^{3} y] = 3 x^{4} - 2 x^{3}$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x^{3} y] d x = \int 3 x^{4} - 2 x^{3} d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$x^{3} y = \int 3 x^{4} - 2 x^{3} d x$

Paso 7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.1

Divide la única integral en varias integrales.

$x^{3} y = \int 3 x^{4} d x + \int - 2 x^{3} d x$

Paso 7.2

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$x^{3} y = 3 \int x^{4} d x + \int - 2 x^{3} d x$

Paso 7.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$x^{3} y = 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int - 2 x^{3} d x$

Paso 7.4

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$x^{3} y = 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 2 \int x^{3} d x$

Paso 7.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$x^{3} y = 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Paso 7.6

Simplifica.

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Paso 7.6.1

Simplifica.

$x^{3} y = 3 (\frac{1}{5}) x^{5} - 2 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$

Paso 7.6.2

Simplifica.

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Paso 7.6.2.1

Combina $3$ y $\frac{1}{5}$ .

$x^{3} y = \frac{3}{5} x^{5} - 2 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$

Paso 7.6.2.2

Combina $- 2$ y $\frac{1}{4}$ .

$x^{3} y = \frac{3}{5} x^{5} + \frac{- 2}{4} x^{4} + C$

Paso 7.6.2.3

Cancela el factor común de $- 2$ y $4$ .

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Paso 7.6.2.3.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$x^{3} y = \frac{3}{5} x^{5} + \frac{2 (- 1)}{4} x^{4} + C$

Paso 7.6.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.6.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$x^{3} y = \frac{3}{5} x^{5} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} x^{4} + C$

Paso 7.6.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$x^{3} y = \frac{3}{5} x^{5} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2} x^{4} + C$

Paso 7.6.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{3} y = \frac{3}{5} x^{5} + \frac{- 1}{2} x^{4} + C$

Paso 7.6.2.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x^{3} y = \frac{3}{5} x^{5} - \frac{1}{2} x^{4} + C$

Paso 8

Divide cada término en $x^{3} y = \frac{3}{5} x^{5} - \frac{1}{2} x^{4} + C$ por $x^{3}$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $x^{3} y = \frac{3}{5} x^{5} - \frac{1}{2} x^{4} + C$ por $x^{3}$ .

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{\frac{3}{5} x^{5}}{x^{3}} + \frac{- \frac{1}{2} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $x^{3}$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{3} y}{x^{3}} = \frac{\frac{3}{5} x^{5}}{x^{3}} + \frac{- \frac{1}{2} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Paso 8.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{3}{5} x^{5}}{x^{3}} + \frac{- \frac{1}{2} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.3.1.1

Cancela el factor común de $x^{5}$ y $x^{3}$ .

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Paso 8.3.1.1.1

Factoriza $x^{3}$ de $\frac{3}{5} x^{5}$ .

$y = \frac{x^{3} (\frac{3}{5} x^{2})}{x^{3}} + \frac{- \frac{1}{2} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Paso 8.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.1.1.2.1

Multiplica por $1$ .

$y = \frac{x^{3} (\frac{3}{5} x^{2})}{x^{3} \cdot 1} + \frac{- \frac{1}{2} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Paso 8.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{x^{3} (\frac{3}{5} x^{2})}{x^{3} \cdot 1} + \frac{- \frac{1}{2} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Paso 8.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{\frac{3}{5} x^{2}}{1} + \frac{- \frac{1}{2} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Paso 8.3.1.1.2.4

Divide $\frac{3}{5} x^{2}$ por $1$ .

$y = \frac{3}{5} x^{2} + \frac{- \frac{1}{2} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Paso 8.3.1.2

Combina $\frac{3}{5}$ y $x^{2}$ .

$y = \frac{3 x^{2}}{5} + \frac{- \frac{1}{2} x^{4}}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Paso 8.3.1.3

Cancela el factor común de $x^{4}$ y $x^{3}$ .

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Paso 8.3.1.3.1

Factoriza $x^{3}$ de $- \frac{1}{2} x^{4}$ .

$y = \frac{3 x^{2}}{5} + \frac{x^{3} (- \frac{1}{2} x)}{x^{3}} + \frac{C}{x^{3}}$

Paso 8.3.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.1.3.2.1

Multiplica por $1$ .

$y = \frac{3 x^{2}}{5} + \frac{x^{3} (- \frac{1}{2} x)}{x^{3} \cdot 1} + \frac{C}{x^{3}}$

Paso 8.3.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{3 x^{2}}{5} + \frac{x^{3} (- \frac{1}{2} x)}{x^{3} \cdot 1} + \frac{C}{x^{3}}$

Paso 8.3.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{3 x^{2}}{5} + \frac{- \frac{1}{2} x}{1} + \frac{C}{x^{3}}$

Paso 8.3.1.3.2.4

Divide $- \frac{1}{2} x$ por $1$ .

$y = \frac{3 x^{2}}{5} - \frac{1}{2} x + \frac{C}{x^{3}}$

Paso 8.3.1.4

Combina $x$ y $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{3 x^{2}}{5} - \frac{x}{2} + \frac{C}{x^{3}}$