Cálculo Ejemplos

$(\tan (x) - \sin (x) \sin (y)) d x + (\cos (x) \cos (y)) d y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\tan (x) - \sin (x) \sin (y)]$

Paso 1.2

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\tan (x) - \sin (x) \sin (y)$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [\tan (x)] + \frac{d}{d y} [- \sin (x) \sin (y)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\tan (x)] + \frac{d}{d y} [- \sin (x) \sin (y)]$

Paso 1.2.2

Como $\tan (x)$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\tan (x)$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- \sin (x) \sin (y)]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [- \sin (x) \sin (y)]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1

Como $- \sin (x)$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- \sin (x) \sin (y)$ con respecto a $y$ es $- \sin (x) \frac{d}{d y} [\sin (y)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - \sin (x) \frac{d}{d y} [\sin (y)]$

Paso 1.3.2

La derivada de $\sin (y)$ con respecto a $y$ es $\cos (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - \sin (x) \cos (y)$

Paso 1.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1

Resta $\sin (x) \cos (y)$ de $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \sin (x) \cos (y)$

Paso 1.4.2

Reordena los factores de $- \sin (x) \cos (y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \cos (y) \sin (x)$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = \cos (x) \cos (y)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\cos (x) \cos (y)]$

Paso 2.2

Como $\cos (y)$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\cos (x) \cos (y)$ con respecto a $x$ es $\cos (y) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 2.3

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (y) (- \sin (x))$

Paso 2.4

Reordena los factores de $\cos (y) (- \sin (x))$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \cos (y) \sin (x)$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Sustituye $- \cos (y) \sin (x)$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $- \cos (y) \sin (x)$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- \cos (y) \sin (x) = - \cos (y) \sin (x)$

Paso 3.2

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$- \cos (y) \sin (x) = - \cos (y) \sin (x)$ es una identidad.

Paso 4

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \cos (x) \cos (y) d y$

Paso 5

Integra $N (x, y) = \cos (x) \cos (y)$ para obtener $f (x, y)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Dado que $\cos (x)$ es constante con respecto a $y$ , mueve $\cos (x)$ fuera de la integral.

$f (x, y) = \cos (x) \int \cos (y) d y$

Paso 5.2

La integral de $\cos (y)$ con respecto a $y$ es $\sin (y)$ .

$f (x, y) = \cos (x) (\sin (y) + C)$

Paso 5.3

Simplifica.

$f (x, y) = \cos (x) \sin (y) + C$

Paso 6

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = \cos (x) \sin (y) + g (x)$

Paso 7

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

Paso 8

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (y) + g (x)] = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

Paso 8.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\cos (x) \sin (y) + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

Paso 8.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (y)]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.1

Como $\sin (y)$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\cos (x) \sin (y)$ con respecto a $x$ es $\sin (y) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\sin (y) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

Paso 8.3.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$\sin (y) (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

Paso 8.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$\sin (y) (- \sin (x)) + \frac{d g}{d x} = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

Paso 8.5

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d x} - \sin (x) \sin (y) = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

Paso 9

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.1

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.1.1

Simplifica $\tan (x) - \sin (x) \sin (y)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.1.1.1

Reescribe $\tan (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{d g}{d x} - \sin (x) \sin (y) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \sin (x) \sin (y)$

Paso 9.1.1.1.2

Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$\frac{d g}{d x} - \sin (x) \sin (y) = \tan (x) - \sin (x) \sin (y)$

Paso 9.1.2

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.2.1

Suma $\sin (x) \sin (y)$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} = \tan (x) - \sin (x) \sin (y) + \sin (x) \sin (y)$

Paso 9.1.2.2

Combina los términos opuestos en $\tan (x) - \sin (x) \sin (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.2.2.1

Suma $- \sin (x) \sin (y)$ y $\sin (x) \sin (y)$ .

$\frac{d g}{d x} = \tan (x) + 0$

Paso 9.1.2.2.2

Suma $\tan (x)$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} = \tan (x)$

Paso 9.1.2.3

Reescribe $\tan (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{d g}{d x} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Paso 9.1.2.4

Convierte de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = \tan (x)$

Paso 10

Obtén la antiderivada de $\tan (x)$ y obtén $g (x)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = \tan (x)$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \tan (x) d x$

Paso 10.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \tan (x) d x$

Paso 10.3

La integral de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\ln (| \sec (x) |)$ .

$g (x) = \ln (| \sec (x) |) + C$

Paso 11

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = \cos (x) \sin (y) + g (x)$ .

$f (x, y) = \cos (x) \sin (y) + \ln (| \sec (x) |) + C$