Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = - 0.7 y$ , $y (0) = 50$

Paso 1

Separa las variables.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- 0.7 y)$

Paso 1.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - 0.7 \frac{1}{y} y$

Paso 1.2.2

Combina $- 0.7$ y $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 0.7}{y} y$

Paso 1.2.3

Cancela el factor común de $y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 0.7}{y} y$

Paso 1.2.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - 0.7$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y} d y = - 0.7 d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - 0.7 d x$

Paso 2.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - 0.7 d x$

Paso 2.3

Aplica la regla de la constante.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 0.7 x + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y |) = - 0.7 x + C$

Paso 3

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- 0.7 x + C}$

Paso 3.2

Reescribe $\ln (| y |) = - 0.7 x + C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 0.7 x + C} = | y |$

Paso 3.3

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $| y | = e^{- 0.7 x + C}$ .

$| y | = e^{- 0.7 x + C}$

Paso 3.3.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- 0.7 x + C}$

Paso 4

Agrupa los términos de la constante.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Reescribe $e^{- 0.7 x + C}$ como $e^{- 0.7 x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- 0.7 x} e^{C}$

Paso 4.2

Reordena $e^{- 0.7 x}$ y $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- 0.7 x}$

Paso 4.3

Combina constantes con el signo más o menos.

$y = C e^{- 0.7 x}$

Paso 5

Usa la condición inicial para obtener el valor de $C$ mediante la sustitución de $0$ por $x$ y de $50$ por $y$ en $y = C e^{- 0.7 x}$ .

$50 = C e^{- 0.7 \cdot 0}$

Paso 6

Resuelve $C$

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $C e^{- 0.7 \cdot 0} = 50$ .

$C e^{- 0.7 \cdot 0} = 50$

Paso 6.2

Simplifica $C e^{- 0.7 \cdot 0}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Multiplica $- 0.7$ por $0$ .

$C e^{0} = 50$

Paso 6.2.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$C \cdot 1 = 50$

Paso 6.2.3

Multiplica $C$ por $1$ .

$C = 50$

Paso 7

Sustituye $50$ por $C$ en $y = C e^{- 0.7 x}$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Sustituye $50$ por $C$ .

$y = 50 e^{- 0.7 x}$