Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} - 1$ ; when $y (0) = 4$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = (3 x^{2} - 1) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int 3 x^{2} - 1 d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int 3 x^{2} - 1 d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y + C_{1} = \int 3 x^{2} d x + \int - 1 d x$

Paso 2.3.2

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 3 \int x^{2} d x + \int - 1 d x$

Paso 2.3.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int - 1 d x$

Paso 2.3.4

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - x + C_{3}$

Paso 2.3.5

Simplifica.

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Paso 2.3.5.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$y + C_{1} = 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) - x + C_{3}$

Paso 2.3.5.2

Simplifica.

$y + C_{1} = x^{3} - x + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = x^{3} - x + K$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $0$ por $x$ y de $4$ por $y$ en $y = x^{3} - x + K$ .

$4 = 0^{3} - 0 + K$

Paso 4

Resuelve $K$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $0^{3} - 0 + K = 4$ .

$0^{3} - 0 + K = 4$

Paso 4.2

Simplifica $0^{3} - 0 + K$ .

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 - 0 + K = 4$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$0 + 0 + K = 4$

Paso 4.2.2

Combina los términos opuestos en $0 + 0 + K$ .

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Paso 4.2.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$0 + K = 4$

Paso 4.2.2.2

Suma $0$ y $K$ .

$K = 4$

Paso 5

Sustituye $4$ por $K$ en $y = x^{3} - x + K$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $4$ por $K$ .

$y = x^{3} - x + 4$