Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} + (\frac{1}{x}) y = 3 x + 4$

Paso 1

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = \frac{1}{x}$ .

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Paso 1.1

Establece la integración.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Paso 1.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

Paso 1.3

Elimina la constante de integración.

$e^{\ln (x)}$

Paso 1.4

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$x$

Paso 2

Multiplica cada término por el factor integrador $x$ .

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Paso 2.1

Multiplica cada término por $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + x ((\frac{1}{x}) y) = x (3 x) + x \cdot 4$

Paso 2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1

Combina $\frac{1}{x}$ y $y$ .

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x (3 x) + x \cdot 4$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 2.2.2.1

Cancela el factor común.

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x (3 x) + x \cdot 4$

Paso 2.2.2.2

Reescribe la expresión.

$x \frac{d y}{d x} + y = x (3 x) + x \cdot 4$

Paso 2.3

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x \frac{d y}{d x} + y = 3 x \cdot x + x \cdot 4$

Paso 2.3.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.2.1

Mueve $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = 3 (x \cdot x) + x \cdot 4$

Paso 2.3.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = 3 x^{2} + x \cdot 4$

Paso 2.3.3

Mueve $4$ a la izquierda de $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = 3 x^{2} + 4 x$

Paso 3

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [x y] = 3 x^{2} + 4 x$

Paso 4

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int 3 x^{2} + 4 x d x$

Paso 5

Integra el lado izquierdo.

$x y = \int 3 x^{2} + 4 x d x$

Paso 6

Integra el lado derecho.

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Paso 6.1

Divide la única integral en varias integrales.

$x y = \int 3 x^{2} d x + \int 4 x d x$

Paso 6.2

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$x y = 3 \int x^{2} d x + \int 4 x d x$

Paso 6.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$x y = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 4 x d x$

Paso 6.4

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$x y = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 4 \int x d x$

Paso 6.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x y = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 6.6

Simplifica.

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Paso 6.6.1

Simplifica.

$x y = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Paso 6.6.2

Simplifica.

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Paso 6.6.2.1

Combina $3$ y $\frac{1}{3}$ .

$x y = \frac{3}{3} x^{3} + 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Paso 6.6.2.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.6.2.2.1

Cancela el factor común.

$x y = \frac{3}{3} x^{3} + 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Paso 6.6.2.2.2

Reescribe la expresión.

$x y = 1 x^{3} + 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Paso 6.6.2.3

Multiplica $x^{3}$ por $1$ .

$x y = x^{3} + 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Paso 6.6.2.4

Combina $4$ y $\frac{1}{2}$ .

$x y = x^{3} + \frac{4}{2} x^{2} + C$

Paso 6.6.2.5

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 6.6.2.5.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$x y = x^{3} + \frac{2 \cdot 2}{2} x^{2} + C$

Paso 6.6.2.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.6.2.5.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$x y = x^{3} + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} x^{2} + C$

Paso 6.6.2.5.2.2

Cancela el factor común.

$x y = x^{3} + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

Paso 6.6.2.5.2.3

Reescribe la expresión.

$x y = x^{3} + \frac{2}{1} x^{2} + C$

Paso 6.6.2.5.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$x y = x^{3} + 2 x^{2} + C$

Paso 7

Divide cada término en $x y = x^{3} + 2 x^{2} + C$ por $x$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $x y = x^{3} + 2 x^{2} + C$ por $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{x^{3}}{x} + \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y}{x} = \frac{x^{3}}{x} + \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 7.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{x} + \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.3.1.1

Cancela el factor común de $x^{3}$ y $x$ .

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Paso 7.3.1.1.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$y = \frac{x \cdot x^{2}}{x} + \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 7.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.3.1.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y = \frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} + \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 7.3.1.1.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$y = \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 7.3.1.1.2.3

Cancela el factor común.

$y = \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 7.3.1.1.2.4

Reescribe la expresión.

$y = \frac{x^{2}}{1} + \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 7.3.1.1.2.5

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$y = x^{2} + \frac{2 x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 7.3.1.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 7.3.1.2.1

Factoriza $x$ de $2 x^{2}$ .

$y = x^{2} + \frac{x (2 x)}{x} + \frac{C}{x}$

Paso 7.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.3.1.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$y = x^{2} + \frac{x (2 x)}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

Paso 7.3.1.2.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$y = x^{2} + \frac{x (2 x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Paso 7.3.1.2.2.3

Cancela el factor común.

$y = x^{2} + \frac{x (2 x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Paso 7.3.1.2.2.4

Reescribe la expresión.

$y = x^{2} + \frac{2 x}{1} + \frac{C}{x}$

Paso 7.3.1.2.2.5

Divide $2 x$ por $1$ .

$y = x^{2} + 2 x + \frac{C}{x}$