Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 5}{2 y - 1}$ , $y (0) = 11$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $2 y - 1$ .

$(2 y - 1) \frac{d y}{d x} = (2 y - 1) \frac{x^{2} + 5}{2 y - 1}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $2 y - 1$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$(2 y - 1) \frac{d y}{d x} = (2 y - 1) \frac{x^{2} + 5}{2 y - 1}$

Paso 1.2.2

Reescribe la expresión.

$(2 y - 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} + 5$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$(2 y - 1) d y = (x^{2} + 5) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int 2 y - 1 d y = \int x^{2} + 5 d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 2 y d y + \int - 1 d y = \int x^{2} + 5 d x$

Paso 2.2.2

Dado que $2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int y d y + \int - 1 d y = \int x^{2} + 5 d x$

Paso 2.2.3

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + \int - 1 d y = \int x^{2} + 5 d x$

Paso 2.2.4

Aplica la regla de la constante.

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) - y + C_{2} = \int x^{2} + 5 d x$

Paso 2.2.5

Simplifica.

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Paso 2.2.5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $y^{2}$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - y + C_{2} = \int x^{2} + 5 d x$

Paso 2.2.5.2

Simplifica.

$y^{2} - y + C_{3} = \int x^{2} + 5 d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Divide la única integral en varias integrales.

$y^{2} - y + C_{3} = \int x^{2} d x + \int 5 d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y^{2} - y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + \int 5 d x$

Paso 2.3.3

Aplica la regla de la constante.

$y^{2} - y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + 5 x + C_{5}$

Paso 2.3.4

Simplifica.

$y^{2} - y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + 5 x + C_{6}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y^{2} - y = \frac{1}{3} x^{3} + 5 x + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$y^{2} - y = \frac{x^{3}}{3} + 5 x + K$

Paso 3.2

Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Resta $\frac{x^{3}}{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{2} - y - \frac{x^{3}}{3} = 5 x + K$

Paso 3.2.2

Resta $5 x$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{2} - y - \frac{x^{3}}{3} - 5 x = K$

Paso 3.2.3

Resta $K$ de ambos lados de la ecuación.

$y^{2} - y - \frac{x^{3}}{3} - 5 x - K = 0$

Paso 3.3

Multiplica por el mínimo común denominador $3$ , luego simplifica.

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Paso 3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 y^{2} + 3 (- y) + 3 (- \frac{x^{3}}{3}) + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

Paso 3.3.2

Simplifica.

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Paso 3.3.2.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$3 y^{2} - 3 y + 3 (- \frac{x^{3}}{3}) + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

Paso 3.3.2.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.3.2.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x^{3}}{3}$ al numerador.

$3 y^{2} - 3 y + 3 (\frac{- x^{3}}{3}) + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

Paso 3.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$3 y^{2} - 3 y + 3 (\frac{- x^{3}}{3}) + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

Paso 3.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$3 y^{2} - 3 y - x^{3} + 3 (- 5 x) + 3 (- K) = 0$

Paso 3.3.2.3

Multiplica $- 5$ por $3$ .

$3 y^{2} - 3 y - x^{3} - 15 x + 3 (- K) = 0$

Paso 3.3.2.4

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$3 y^{2} - 3 y - x^{3} - 15 x - 3 K = 0$

Paso 3.3.3

Mueve $- 15 x$ .

$3 y^{2} - 3 y - x^{3} - 3 K - 15 x = 0$

Paso 3.3.4

Mueve $- 3 y$ .

$3 y^{2} - x^{3} - 3 K - 3 y - 15 x = 0$

Paso 3.3.5

Reordena $3 y^{2}$ y $- x^{3}$ .

$- x^{3} + 3 y^{2} - 3 K - 3 y - 15 x = 0$

Paso 3.4

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.5

Sustituye los valores $a = 3$ , $b = - 3$ y $c = - x^{3} - 3 K - 15 x$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot (- x^{3} - 3 K - 15 x))}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.6

Simplifica.

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Paso 3.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.6.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 3 \cdot (- x^{3} - 3 K - 15 x)}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.6.1.2

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 12 \cdot (- x^{3} - 3 K - 15 x)}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 12 (- x^{3}) - 12 (- 3 K) - 12 (- 15 x)}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.6.1.4

Simplifica.

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Paso 3.6.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 12$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12 x^{3} - 12 (- 3 K) - 12 (- 15 x)}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.6.1.4.2

Multiplica $- 3$ por $- 12$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12 x^{3} + 36 K - 12 (- 15 x)}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.6.1.4.3

Multiplica $- 15$ por $- 12$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 12 x^{3} + 36 K + 180 x}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.6.1.5

Factoriza $3$ de $9 + 12 x^{3} + 36 K + 180 x$ .

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Paso 3.6.1.5.1

Factoriza $3$ de $9$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3) + 12 x^{3} + 36 K + 180 x}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.6.1.5.2

Factoriza $3$ de $12 x^{3}$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3) + 3 (4 x^{3}) + 36 K + 180 x}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.6.1.5.3

Factoriza $3$ de $36 K$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3) + 3 (4 x^{3}) + 3 (12 K) + 180 x}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.6.1.5.4

Factoriza $3$ de $180 x$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3) + 3 (4 x^{3}) + 3 (12 K) + 3 (60 x)}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.6.1.5.5

Factoriza $3$ de $3 (3) + 3 (4 x^{3})$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 + 4 x^{3}) + 3 (12 K) + 3 (60 x)}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.6.1.5.6

Factoriza $3$ de $3 (3 + 4 x^{3}) + 3 (12 K)$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K) + 3 (60 x)}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.6.1.5.7

Factoriza $3$ de $3 (3 + 4 x^{3} + 12 K) + 3 (60 x)$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{2 \cdot 3}$

Paso 3.6.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$y = \frac{3 \pm \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

Paso 3.7

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 12 K + 60 x)}}{6}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + K + 60 x)}}{6}$

$y = \frac{3 - \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + K + 60 x)}}{6}$

Paso 5

Como $y$ es positiva en la condición inicial $(0, 11)$ , solo considera $y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + K + 60 x)}}{6}$ para obtener $K$ . Sustituye $0$ por $x$ y $11$ por $y$ .

$11 = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0^{3} + K + 60 \cdot 0)}}{6}$

Paso 6

Resuelve $K$

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Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0^{3} + K + 60 \cdot 0)}}{6} = 11$ .

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0^{3} + K + 60 \cdot 0)}}{6} = 11$

Paso 6.2

Multiplica ambos lados por $6$ .

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0^{3} + K + 60 \cdot 0)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

Paso 6.3

Simplifica.

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Paso 6.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.1.1

Simplifica $\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0^{3} + K + 60 \cdot 0)}}{6} \cdot 6$ .

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Paso 6.3.1.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.3.1.1.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 \cdot 0 + K + 60 \cdot 0)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

Paso 6.3.1.1.1.2

Multiplica $4$ por $0$ .

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 0 + K + 60 \cdot 0)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

Paso 6.3.1.1.1.3

Multiplica $60$ por $0$ .

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 0 + K + 0)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

Paso 6.3.1.1.1.4

Suma $3 + 0 + K$ y $0$ .

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + 0 + K)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

Paso 6.3.1.1.1.5

Suma $3$ y $0$ .

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + K)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

Paso 6.3.1.1.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 6.3.1.1.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 6.3.1.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 + \sqrt{3 (3 + K)}}{6} \cdot 6 = 11 \cdot 6$

Paso 6.3.1.1.2.1.2

Reescribe la expresión.

$3 + \sqrt{3 (3 + K)} = 11 \cdot 6$

Paso 6.3.1.1.2.2

Reordena $3$ y $K$ .

$3 + \sqrt{3 (K + 3)} = 11 \cdot 6$

Paso 6.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.2.1

Multiplica $11$ por $6$ .

$3 + \sqrt{3 (K + 3)} = 66$

Paso 6.4

Resuelve $K$

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Paso 6.4.1

Mueve todos los términos que no contengan $\sqrt{3 (K + 3)}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.4.1.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$\sqrt{3 (K + 3)} = 66 - 3$

Paso 6.4.1.2

Resta $3$ de $66$ .

$\sqrt{3 (K + 3)} = 63$

Paso 6.4.2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{3 (K + 3)}}^{2} = 63^{2}$

Paso 6.4.3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 6.4.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3 (K + 3)}$ como ${(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 63^{2}$

Paso 6.4.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.4.3.2.1

Simplifica ${({(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.4.3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 6.4.3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 63^{2}$

Paso 6.4.3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.4.3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(3 (K + 3))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 63^{2}$

Paso 6.4.3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(3 (K + 3))}^{1} = 63^{2}$

Paso 6.4.3.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

${(3 K + 3 \cdot 3)}^{1} = 63^{2}$

Paso 6.4.3.2.1.3

Multiplica.

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Paso 6.4.3.2.1.3.1

Multiplica $3$ por $3$ .

${(3 K + 9)}^{1} = 63^{2}$

Paso 6.4.3.2.1.3.2

Simplifica.

$3 K + 9 = 63^{2}$

Paso 6.4.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.4.3.3.1

Eleva $63$ a la potencia de $2$ .

$3 K + 9 = 3969$

Paso 6.4.4

Resuelve $K$

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Paso 6.4.4.1

Mueve todos los términos que no contengan $K$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.4.4.1.1

Resta $9$ de ambos lados de la ecuación.

$3 K = 3969 - 9$

Paso 6.4.4.1.2

Resta $9$ de $3969$ .

$3 K = 3960$

Paso 6.4.4.2

Divide cada término en $3 K = 3960$ por $3$ y simplifica.

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Paso 6.4.4.2.1

Divide cada término en $3 K = 3960$ por $3$ .

$\frac{3 K}{3} = \frac{3960}{3}$

Paso 6.4.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.4.4.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.4.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 K}{3} = \frac{3960}{3}$

Paso 6.4.4.2.2.1.2

Divide $K$ por $1$ .

$K = \frac{3960}{3}$

Paso 6.4.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.4.4.2.3.1

Divide $3960$ por $3$ .

$K = 1320$

Paso 7

Sustituye $1320$ por $K$ en $y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + K + 60 x)}}{6}$ y simplifica.

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Paso 7.1

Sustituye $1320$ por $K$ .

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (3 + 4 x^{3} + 1320 + 60 x)}}{6}$

Paso 7.2

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.1

Suma $3$ y $1320$ .

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (4 x^{3} + 1323 + 60 x)}}{6}$

Paso 7.2.2

Reordena los términos.

$y = \frac{3 + \sqrt{3 (4 x^{3} + 60 x + 1323)}}{6}$