Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = e^{x + 2} {(2 - y)}^{2}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{{(2 - y)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(2 - y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 - y)}^{2}} (e^{x + 2} {(2 - y)}^{2})$

Paso 1.2

Cancela el factor común de ${(2 - y)}^{2}$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza ${(2 - y)}^{2}$ de $e^{x + 2} {(2 - y)}^{2}$ .

$\frac{1}{{(2 - y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 - y)}^{2}} ({(2 - y)}^{2} e^{x + 2})$

Paso 1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{{(2 - y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 - y)}^{2}} ({(2 - y)}^{2} e^{x + 2})$

Paso 1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{{(2 - y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = e^{x + 2}$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{{(2 - y)}^{2}} d y = e^{x + 2} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{{(2 - y)}^{2}} d y = \int e^{x + 2} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u_{1} = 2 - y$ . Entonces $d u_{1} = - d y$ , de modo que $- d u_{1} = d y$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u_{1} = 2 - y$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Reescribe.

$\frac{- 1}{1}$

Paso 2.2.1.1.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \frac{- 1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} = \int e^{x + 2} d x$

Paso 2.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int - \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} = \int e^{x + 2} d x$

Paso 2.2.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} = \int e^{x + 2} d x$

Paso 2.2.4

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.2.4.1

Mueve ${u_{1}}^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$- \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} = \int e^{x + 2} d x$

Paso 2.2.4.2

Multiplica los exponentes en ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.4.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} = \int e^{x + 2} d x$

Paso 2.2.4.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} = \int e^{x + 2} d x$

Paso 2.2.5

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{1}}^{- 2}$ con respecto a $u_{1}$ es $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$- (- {u_{1}}^{- 1} + C_{1}) = \int e^{x + 2} d x$

Paso 2.2.6

Simplifica.

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Paso 2.2.6.1

Reescribe $- (- {u_{1}}^{- 1} + C_{1})$ como $- - \frac{1}{u_{1}} + C_{1}$ .

$- - \frac{1}{u_{1}} + C_{1} = \int e^{x + 2} d x$

Paso 2.2.6.2

Simplifica.

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Paso 2.2.6.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{1}{u_{1}} + C_{1} = \int e^{x + 2} d x$

Paso 2.2.6.2.2

Multiplica $\frac{1}{u_{1}}$ por $1$ .

$\frac{1}{u_{1}} + C_{1} = \int e^{x + 2} d x$

Paso 2.2.7

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 - y$ .

$\frac{1}{2 - y} + C_{1} = \int e^{x + 2} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Sea $u_{2} = x + 2$ . Entonces $d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 2.3.1.1

Deja $u_{2} = x + 2$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 2.3.1.1.1

Diferencia $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Paso 2.3.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.3.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.3.1.1.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.3.1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.3.1.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2 - y} + C_{1} = \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Paso 2.3.2

La integral de $e^{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{2 - y} + C_{1} = e^{u_{2}} + C_{2}$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x + 2$ .

$\frac{1}{2 - y} + C_{1} = e^{x + 2} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$\frac{1}{2 - y} = e^{x + 2} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$2 - y, 1, 1$

Paso 3.1.2

Elimina los paréntesis.

$2 - y, 1, 1$

Paso 3.1.3

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$2 - y$

Paso 3.2

Multiplica cada término en $\frac{1}{2 - y} = e^{x + 2} + K$ por $2 - y$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.2.1

Multiplica cada término en $\frac{1}{2 - y} = e^{x + 2} + K$ por $2 - y$ .

$\frac{1}{2 - y} (2 - y) = e^{x + 2} (2 - y) + K (2 - y)$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $2 - y$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2 - y} (2 - y) = e^{x + 2} (2 - y) + K (2 - y)$

Paso 3.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$1 = e^{x + 2} (2 - y) + K (2 - y)$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = e^{x + 2} \cdot 2 + e^{x + 2} (- y) + K (2 - y)$

Paso 3.2.3.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{x + 2}$ .

$1 = 2 \cdot e^{x + 2} + e^{x + 2} (- y) + K (2 - y)$

Paso 3.2.3.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$1 = 2 \cdot e^{x + 2} - e^{x + 2} y + K (2 - y)$

Paso 3.2.3.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = 2 e^{x + 2} - e^{x + 2} y + K \cdot 2 + K (- y)$

Paso 3.2.3.1.5

Mueve $2$ a la izquierda de $K$ .

$1 = 2 e^{x + 2} - e^{x + 2} y + 2 \cdot K + K (- y)$

Paso 3.2.3.1.6

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$1 = 2 e^{x + 2} - e^{x + 2} y + 2 K - K y$

Paso 3.2.3.2

Reordena los factores en $2 e^{x + 2} - e^{x + 2} y + 2 K - K y$ .

$1 = 2 e^{x + 2} - y e^{x + 2} + 2 K - K y$

Paso 3.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $2 e^{x + 2} - y e^{x + 2} + 2 K - K y = 1$ .

$2 e^{x + 2} - y e^{x + 2} + 2 K - K y = 1$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Resta $2 e^{x + 2}$ de ambos lados de la ecuación.

$- y e^{x + 2} + 2 K - K y = 1 - 2 e^{x + 2}$

Paso 3.3.2.2

Resta $2 K$ de ambos lados de la ecuación.

$- y e^{x + 2} - K y = 1 - 2 e^{x + 2} - 2 K$

Paso 3.3.3

Factoriza $y$ de $- y e^{x + 2} - K y$ .

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Paso 3.3.3.1

Factoriza $y$ de $- y e^{x + 2}$ .

$y (- 1 e^{x + 2}) - K y = 1 - 2 e^{x + 2} - 2 K$

Paso 3.3.3.2

Factoriza $y$ de $- K y$ .

$y (- 1 e^{x + 2}) + y (- K) = 1 - 2 e^{x + 2} - 2 K$

Paso 3.3.3.3

Factoriza $y$ de $y (- 1 e^{x + 2}) + y (- K)$ .

$y (- 1 e^{x + 2} - K) = 1 - 2 e^{x + 2} - 2 K$

Paso 3.3.4

Reescribe $- 1 e^{x + 2}$ como $- e^{x + 2}$ .

$y (- e^{x + 2} - K) = 1 - 2 e^{x + 2} - 2 K$

Paso 3.3.5

Divide cada término en $y (- e^{x + 2} - K) = 1 - 2 e^{x + 2} - 2 K$ por $- e^{x + 2} - K$ y simplifica.

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Paso 3.3.5.1

Divide cada término en $y (- e^{x + 2} - K) = 1 - 2 e^{x + 2} - 2 K$ por $- e^{x + 2} - K$ .

$\frac{y (- e^{x + 2} - K)}{- e^{x + 2} - K} = \frac{1}{- e^{x + 2} - K} + \frac{- 2 e^{x + 2}}{- e^{x + 2} - K} + \frac{- 2 K}{- e^{x + 2} - K}$

Paso 3.3.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.5.2.1

Cancela el factor común de $- e^{x + 2} - K$ .

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Paso 3.3.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (- e^{x + 2} - K)}{- e^{x + 2} - K} = \frac{1}{- e^{x + 2} - K} + \frac{- 2 e^{x + 2}}{- e^{x + 2} - K} + \frac{- 2 K}{- e^{x + 2} - K}$

Paso 3.3.5.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{1}{- e^{x + 2} - K} + \frac{- 2 e^{x + 2}}{- e^{x + 2} - K} + \frac{- 2 K}{- e^{x + 2} - K}$

Paso 3.3.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.5.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{1}{- e^{x + 2} - K} - \frac{2 e^{x + 2}}{- e^{x + 2} - K} + \frac{- 2 K}{- e^{x + 2} - K}$

Paso 3.3.5.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{1}{- e^{x + 2} - K} - \frac{2 e^{x + 2}}{- e^{x + 2} - K} - \frac{2 K}{- e^{x + 2} - K}$

Paso 3.3.5.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{1 - 2 e^{x + 2}}{- e^{x + 2} - K} - \frac{2 K}{- e^{x + 2} - K}$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{1 - 2 e^{x + 2}}{- e^{x + 2} + K} - \frac{K}{- e^{x + 2} + K}$