Cálculo Ejemplos

$\frac{d^{2} x}{d t^{2}} + 4 \frac{d x}{d t} + 5 x = 10$

Paso 1

Supón que todas las soluciones son en formato $x = e^{r t}$ .

Paso 2

Obtén la ecuación característica para $\frac{d^{2} x}{d t^{2}} + 4 \frac{d x}{d t} + 5 x = 10$ .

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

$\frac{d x}{d t} = r e^{r t}$

Paso 2.2

Obtener la segunda derivada.

$\frac{d^{2} x}{d t^{2}} = r^{2} e^{r t}$

Paso 2.3

Sustituye en la ecuación diferencial.

$r^{2} e^{r t} + 4 (r e^{r t}) + 5 e^{r t} = 10$

Paso 2.4

Elimina los paréntesis.

$r^{2} e^{r t} + 4 r e^{r t} + 5 e^{r t} = 10$

Paso 2.5

Factoriza $e^{r t}$ .

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Paso 2.5.1

Factoriza $e^{r t}$ de $r^{2} e^{r t}$ .

$e^{r t} r^{2} + 4 r e^{r t} + 5 e^{r t} = 10$

Paso 2.5.2

Factoriza $e^{r t}$ de $4 r e^{r t}$ .

$e^{r t} r^{2} + e^{r t} (4 r) + 5 e^{r t} = 10$

Paso 2.5.3

Factoriza $e^{r t}$ de $e^{r t} r^{2} + e^{r t} (4 r)$ .

$e^{r t} (r^{2} + 4 r) + 5 e^{r t} = 10$

Paso 2.5.4

Factoriza $e^{r t}$ de $5 e^{r t}$ .

$e^{r t} (r^{2} + 4 r) + e^{r t} \cdot 5 = 10$

Paso 2.5.5

Factoriza $e^{r t}$ de $e^{r t} (r^{2} + 4 r) + e^{r t} \cdot 5$ .

$e^{r t} (r^{2} + 4 r + 5) = 10$

Paso 2.6

Como los exponenciales no pueden ser cero, divide ambos lados por $e^{r t}$ .

$r^{2} + 4 r + 5 = 10$

Paso 3

Resuelve $r$

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Paso 3.1

Resta $10$ de ambos lados de la ecuación.

$r^{2} + 4 r + 5 - 10 = 0$

Paso 3.2

Resta $10$ de $5$ .

$r^{2} + 4 r - 5 = 0$

Paso 3.3

Factoriza $r^{2} + 4 r - 5$ con el método AC.

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Paso 3.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 5$ y cuya suma es $4$ .

$- 1, 5$

Paso 3.3.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(r - 1) (r + 5) = 0$

Paso 3.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$r - 1 = 0$

$r + 5 = 0$

Paso 3.5

Establece $r - 1$ igual a $0$ y resuelve $r$ .

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Paso 3.5.1

Establece $r - 1$ igual a $0$ .

$r - 1 = 0$

Paso 3.5.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$r = 1$

Paso 3.6

Establece $r + 5$ igual a $0$ y resuelve $r$ .

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Paso 3.6.1

Establece $r + 5$ igual a $0$ .

$r + 5 = 0$

Paso 3.6.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$r = - 5$

Paso 3.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $(r - 1) (r + 5) = 0$ verdadera.

$r = 1, - 5$

Paso 4

Con los dos valores obtenidos de $r$ , se pueden construir dos soluciones.

$x_{1} = e^{1 t}$

$x_{2} = e^{- 5 t}$

Paso 5

Según el principio de superposición, la solución general es una combinación lineal de dos soluciones para una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden.

$x = c_{1} e^{1 t} + c_{2} e^{- 5 t}$

Paso 6

Multiplica $t$ por $1$ .

$x = c_{1} e^{t} + c_{2} e^{- 5 t}$