Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d t} = t^{2} - y$

Paso 1

Suma $y$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d t} + y = t^{2}$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (t) d t}$ , donde $P (t) = 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int d t}$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$e^{t + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{t}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $e^{t}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Multiplica cada término por $e^{t}$ .

$e^{t} \frac{d y}{d t} + e^{t} y = e^{t} t^{2}$

Paso 3.2

Reordena los factores en $e^{t} \frac{d y}{d t} + e^{t} y = e^{t} t^{2}$ .

$e^{t} \frac{d y}{d t} + y e^{t} = t^{2} e^{t}$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d t} [e^{t} y] = t^{2} e^{t}$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d t} [e^{t} y] d t = \int t^{2} e^{t} d t$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$e^{t} y = \int t^{2} e^{t} d t$

Paso 7

Integra el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = t^{2}$ y $d v = e^{t}$ .

$e^{t} y = t^{2} e^{t} - \int e^{t} (2 t) d t$

Paso 7.2

Dado que $2$ es constante con respecto a $t$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$e^{t} y = t^{2} e^{t} - (2 \int e^{t} (t) d t)$

Paso 7.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$e^{t} y = t^{2} e^{t} - 2 \int e^{t} (t) d t$

Paso 7.4

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = t$ y $d v = e^{t}$ .

$e^{t} y = t^{2} e^{t} - 2 (t e^{t} - \int e^{t} d t)$

Paso 7.5

La integral de $e^{t}$ con respecto a $t$ es $e^{t}$ .

$e^{t} y = t^{2} e^{t} - 2 (t e^{t} - (e^{t} + C))$

Paso 7.6

Reescribe $t^{2} e^{t} - 2 (t e^{t} - (e^{t} + C))$ como $t^{2} e^{t} - 2 t e^{t} + 2 e^{t} + C$ .

$e^{t} y = t^{2} e^{t} - 2 t e^{t} + 2 e^{t} + C$

Paso 8

Divide cada término en $e^{t} y = t^{2} e^{t} - 2 t e^{t} + 2 e^{t} + C$ por $e^{t}$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Divide cada término en $e^{t} y = t^{2} e^{t} - 2 t e^{t} + 2 e^{t} + C$ por $e^{t}$ .

$\frac{e^{t} y}{e^{t}} = \frac{t^{2} e^{t}}{e^{t}} + \frac{- 2 t e^{t}}{e^{t}} + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $e^{t}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{e^{t} y}{e^{t}} = \frac{t^{2} e^{t}}{e^{t}} + \frac{- 2 t e^{t}}{e^{t}} + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Paso 8.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{t^{2} e^{t}}{e^{t}} + \frac{- 2 t e^{t}}{e^{t}} + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.1.1

Cancela el factor común de $e^{t}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{t^{2} e^{t}}{e^{t}} + \frac{- 2 t e^{t}}{e^{t}} + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Paso 8.3.1.1.2

Divide $t^{2}$ por $1$ .

$y = t^{2} + \frac{- 2 t e^{t}}{e^{t}} + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Paso 8.3.1.2

Cancela el factor común de $e^{t}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$y = t^{2} + \frac{- 2 t e^{t}}{e^{t}} + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Paso 8.3.1.2.2

Divide $- 2 t$ por $1$ .

$y = t^{2} - 2 t + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Paso 8.3.1.3

Cancela el factor común de $e^{t}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.3.1.3.1

Cancela el factor común.

$y = t^{2} - 2 t + \frac{2 e^{t}}{e^{t}} + \frac{C}{e^{t}}$

Paso 8.3.1.3.2

Divide $2$ por $1$ .

$y = t^{2} - 2 t + 2 + \frac{C}{e^{t}}$