Cálculo Ejemplos

$x^{2} \cdot \frac{d y}{d x} + 37 x y = 7 x - 47$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Paso 1.1

Divide cada término en $x^{2} \cdot \frac{d y}{d x} + 37 x y = 7 x - 47$ por $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot \frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{37 x y}{x^{2}} = \frac{7 x}{x^{2}} + \frac{- 47}{x^{2}}$

Paso 1.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} \cdot \frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{37 x y}{x^{2}} = \frac{7 x}{x^{2}} + \frac{- 47}{x^{2}}$

Paso 1.2.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{37 x y}{x^{2}} = \frac{7 x}{x^{2}} + \frac{- 47}{x^{2}}$

Paso 1.3

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 1.3.1

Factoriza $x$ de $37 x y$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x (37 y)}{x^{2}} = \frac{7 x}{x^{2}} + \frac{- 47}{x^{2}}$

Paso 1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.3.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x (37 y)}{x \cdot x} = \frac{7 x}{x^{2}} + \frac{- 47}{x^{2}}$

Paso 1.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} + \frac{x (37 y)}{x \cdot x} = \frac{7 x}{x^{2}} + \frac{- 47}{x^{2}}$

Paso 1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} + \frac{37 y}{x} = \frac{7 x}{x^{2}} + \frac{- 47}{x^{2}}$

Paso 1.4

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 1.4.1

Factoriza $x$ de $7 x$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{37 y}{x} = \frac{x \cdot 7}{x^{2}} + \frac{- 47}{x^{2}}$

Paso 1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.4.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{37 y}{x} = \frac{x \cdot 7}{x \cdot x} + \frac{- 47}{x^{2}}$

Paso 1.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d y}{d x} + \frac{37 y}{x} = \frac{x \cdot 7}{x \cdot x} + \frac{- 47}{x^{2}}$

Paso 1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d y}{d x} + \frac{37 y}{x} = \frac{7}{x} + \frac{- 47}{x^{2}}$

Paso 1.5

Factoriza $y$ de $\frac{37 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{37}{x} = \frac{7}{x} + \frac{- 47}{x^{2}}$

Paso 1.6

Reordena $y$ y $\frac{37}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{37}{x} y = \frac{7}{x} + \frac{- 47}{x^{2}}$

Paso 2

El factor integrador se define mediante la fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , donde $P (x) = \frac{37}{x}$ .

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Paso 2.1

Establece la integración.

$e^{\int \frac{37}{x} d x}$

Paso 2.2

Integra $\frac{37}{x}$ .

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Paso 2.2.1

Dado que $37$ es constante con respecto a $x$ , mueve $37$ fuera de la integral.

$e^{37 \int \frac{1}{x} d x}$

Paso 2.2.2

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$e^{37 (\ln (| x |) + C)}$

Paso 2.2.3

Simplifica.

$e^{37 \ln (| x |) + C}$

Paso 2.3

Elimina la constante de integración.

$e^{37 \ln (x)}$

Paso 2.4

Usa la regla de la potencia del logaritmo.

$e^{\ln (x^{37})}$

Paso 2.5

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$x^{37}$

Paso 3

Multiplica cada término por el factor integrador $x^{37}$ .

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Paso 3.1

Multiplica cada término por $x^{37}$ .

$x^{37} \frac{d y}{d x} + x^{37} (\frac{37}{x} y) = x^{37} \frac{7}{x} + x^{37} \frac{- 47}{x^{2}}$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Combina $\frac{37}{x}$ y $y$ .

$x^{37} \frac{d y}{d x} + x^{37} \frac{37 y}{x} = x^{37} \frac{7}{x} + x^{37} \frac{- 47}{x^{2}}$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.2.2.1

Factoriza $x$ de $x^{37}$ .

$x^{37} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{36} \frac{37 y}{x} = x^{37} \frac{7}{x} + x^{37} \frac{- 47}{x^{2}}$

Paso 3.2.2.2

Cancela el factor común.

$x^{37} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{36} \frac{37 y}{x} = x^{37} \frac{7}{x} + x^{37} \frac{- 47}{x^{2}}$

Paso 3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{37} \frac{d y}{d x} + x^{36} (37 y) = x^{37} \frac{7}{x} + x^{37} \frac{- 47}{x^{2}}$

Paso 3.2.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{37} \frac{d y}{d x} + 37 x^{36} y = x^{37} \frac{7}{x} + x^{37} \frac{- 47}{x^{2}}$

Paso 3.3

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.3.1.1

Factoriza $x$ de $x^{37}$ .

$x^{37} \frac{d y}{d x} + 37 x^{36} y = x \cdot x^{36} \frac{7}{x} + x^{37} \frac{- 47}{x^{2}}$

Paso 3.3.1.2

Cancela el factor común.

$x^{37} \frac{d y}{d x} + 37 x^{36} y = x \cdot x^{36} \frac{7}{x} + x^{37} \frac{- 47}{x^{2}}$

Paso 3.3.1.3

Reescribe la expresión.

$x^{37} \frac{d y}{d x} + 37 x^{36} y = x^{36} \cdot 7 + x^{37} \frac{- 47}{x^{2}}$

Paso 3.3.2

Mueve $7$ a la izquierda de $x^{36}$ .

$x^{37} \frac{d y}{d x} + 37 x^{36} y = 7 \cdot x^{36} + x^{37} \frac{- 47}{x^{2}}$

Paso 3.3.3

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 3.3.3.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{37}$ .

$x^{37} \frac{d y}{d x} + 37 x^{36} y = 7 x^{36} + x^{2} x^{35} \frac{- 47}{x^{2}}$

Paso 3.3.3.2

Cancela el factor común.

$x^{37} \frac{d y}{d x} + 37 x^{36} y = 7 x^{36} + x^{2} x^{35} \frac{- 47}{x^{2}}$

Paso 3.3.3.3

Reescribe la expresión.

$x^{37} \frac{d y}{d x} + 37 x^{36} y = 7 x^{36} + x^{35} \cdot - 47$

Paso 3.3.4

Mueve $- 47$ a la izquierda de $x^{35}$ .

$x^{37} \frac{d y}{d x} + 37 x^{36} y = 7 x^{36} - 47 x^{35}$

Paso 4

Reescribe el lado izquierdo como resultado de la diferenciación de un producto.

$\frac{d}{d x} [x^{37} y] = 7 x^{36} - 47 x^{35}$

Paso 5

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x^{37} y] d x = \int 7 x^{36} - 47 x^{35} d x$

Paso 6

Integra el lado izquierdo.

$x^{37} y = \int 7 x^{36} - 47 x^{35} d x$

Paso 7

Integra el lado derecho.

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Paso 7.1

Divide la única integral en varias integrales.

$x^{37} y = \int 7 x^{36} d x + \int - 47 x^{35} d x$

Paso 7.2

Dado que $7$ es constante con respecto a $x$ , mueve $7$ fuera de la integral.

$x^{37} y = 7 \int x^{36} d x + \int - 47 x^{35} d x$

Paso 7.3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{36}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{37} x^{37}$ .

$x^{37} y = 7 (\frac{1}{37} x^{37} + C) + \int - 47 x^{35} d x$

Paso 7.4

Dado que $- 47$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 47$ fuera de la integral.

$x^{37} y = 7 (\frac{1}{37} x^{37} + C) - 47 \int x^{35} d x$

Paso 7.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{35}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{36} x^{36}$ .

$x^{37} y = 7 (\frac{1}{37} x^{37} + C) - 47 (\frac{1}{36} x^{36} + C)$

Paso 7.6

Simplifica.

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Paso 7.6.1

Simplifica.

$x^{37} y = 7 (\frac{1}{37}) x^{37} - 47 (\frac{1}{36}) x^{36} + C$

Paso 7.6.2

Simplifica.

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Paso 7.6.2.1

Combina $7$ y $\frac{1}{37}$ .

$x^{37} y = \frac{7}{37} x^{37} - 47 (\frac{1}{36}) x^{36} + C$

Paso 7.6.2.2

Combina $- 47$ y $\frac{1}{36}$ .

$x^{37} y = \frac{7}{37} x^{37} + \frac{- 47}{36} x^{36} + C$

Paso 7.6.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x^{37} y = \frac{7}{37} x^{37} - \frac{47}{36} x^{36} + C$

Paso 8

Divide cada término en $x^{37} y = \frac{7}{37} x^{37} - \frac{47}{36} x^{36} + C$ por $x^{37}$ y simplifica.

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Paso 8.1

Divide cada término en $x^{37} y = \frac{7}{37} x^{37} - \frac{47}{36} x^{36} + C$ por $x^{37}$ .

$\frac{x^{37} y}{x^{37}} = \frac{\frac{7}{37} x^{37}}{x^{37}} + \frac{- \frac{47}{36} x^{36}}{x^{37}} + \frac{C}{x^{37}}$

Paso 8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.1

Cancela el factor común de $x^{37}$ .

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{37} y}{x^{37}} = \frac{\frac{7}{37} x^{37}}{x^{37}} + \frac{- \frac{47}{36} x^{36}}{x^{37}} + \frac{C}{x^{37}}$

Paso 8.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{7}{37} x^{37}}{x^{37}} + \frac{- \frac{47}{36} x^{36}}{x^{37}} + \frac{C}{x^{37}}$

Paso 8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.3.1.1

Cancela el factor común de $x^{37}$ .

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Paso 8.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{\frac{7}{37} x^{37}}{x^{37}} + \frac{- \frac{47}{36} x^{36}}{x^{37}} + \frac{C}{x^{37}}$

Paso 8.3.1.1.2

Divide $\frac{7}{37}$ por $1$ .

$y = \frac{7}{37} + \frac{- \frac{47}{36} x^{36}}{x^{37}} + \frac{C}{x^{37}}$

Paso 8.3.1.2

Cancela el factor común de $x^{36}$ y $x^{37}$ .

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Paso 8.3.1.2.1

Factoriza $x^{36}$ de $- \frac{47}{36} x^{36}$ .

$y = \frac{7}{37} + \frac{x^{36} (- \frac{47}{36})}{x^{37}} + \frac{C}{x^{37}}$

Paso 8.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.3.1.2.2.1

Factoriza $x^{36}$ de $x^{37}$ .

$y = \frac{7}{37} + \frac{x^{36} (- \frac{47}{36})}{x^{36} x} + \frac{C}{x^{37}}$

Paso 8.3.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{7}{37} + \frac{x^{36} (- \frac{47}{36})}{x^{36} x} + \frac{C}{x^{37}}$

Paso 8.3.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{7}{37} + \frac{- \frac{47}{36}}{x} + \frac{C}{x^{37}}$

Paso 8.3.1.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = \frac{7}{37} - \frac{47}{36} \cdot \frac{1}{x} + \frac{C}{x^{37}}$

Paso 8.3.1.4

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $\frac{47}{36}$ .

$y = \frac{7}{37} - \frac{47}{x \cdot 36} + \frac{C}{x^{37}}$

Paso 8.3.1.5

Mueve $36$ a la izquierda de $x$ .

$y = \frac{7}{37} - \frac{47}{36 x} + \frac{C}{x^{37}}$