Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = x e^{- x}$

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = x e^{- x} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int x e^{- x} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int x e^{- x} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{- x}$ .

$y + C_{1} = x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x$

Paso 2.3.2

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x$

Paso 2.3.3

Simplifica.

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Paso 2.3.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y + C_{1} = x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x$

Paso 2.3.3.2

Multiplica $\int e^{- x} d x$ por $1$ .

$y + C_{1} = x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x$

Paso 2.3.4

Sea $u = - x$ . Entonces $d u = - d x$ , de modo que $- d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.4.1

Deja $u = - x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.4.1.1

Diferencia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Paso 2.3.4.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.3.4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 2.3.4.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 2.3.4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$y + C_{1} = x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u$

Paso 2.3.5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u$

Paso 2.3.6

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$y + C_{1} = x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2})$

Paso 2.3.7

Reescribe $x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2})$ como $- x e^{- x} - e^{u} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = - x e^{- x} - e^{u} + C_{2}$

Paso 2.3.8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$y + C_{1} = - x e^{- x} - e^{- x} + C_{2}$

Paso 2.3.9

Reordena los términos.

$y + C_{1} = - e^{- x} x - e^{- x} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$y = - e^{- x} x - e^{- x} + K$