Cálculo Ejemplos

$\frac{d r}{d θ} = - r \tan (θ)$ , $r (π) = 2$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{r}$ .

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{1}{r} (- r \tan (θ))$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d θ} = - \frac{1}{r} (r \tan (θ))$

Paso 1.2.2

Cancela el factor común de $r$ .

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Paso 1.2.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{r}$ al numerador.

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{- 1}{r} (r \tan (θ))$

Paso 1.2.2.2

Factoriza $r$ de $r \tan (θ)$ .

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{- 1}{r} (r (\tan (θ)))$

Paso 1.2.2.3

Cancela el factor común.

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d θ} = \frac{- 1}{r} (r \tan (θ))$

Paso 1.2.2.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{r} \frac{d r}{d θ} = - \tan (θ)$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{r} d r = - \tan (θ) d θ$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{r} d r = \int - \tan (θ) d θ$

Paso 2.2

La integral de $\frac{1}{r}$ con respecto a $r$ es $\ln (| r |)$ .

$\ln (| r |) + C_{1} = \int - \tan (θ) d θ$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $θ$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\ln (| r |) + C_{1} = - \int \tan (θ) d θ$

Paso 2.3.2

La integral de $\tan (θ)$ con respecto a $θ$ es $\ln (| \sec (θ) |)$ .

$\ln (| r |) + C_{1} = - (\ln (| \sec (θ) |) + C_{2})$

Paso 2.3.3

Simplifica.

$\ln (| r |) + C_{1} = - \ln (| \sec (θ) |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| r |) = - \ln (| \sec (θ) |) + C$

Paso 3

Resuelve $r$

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Paso 3.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln (| r |) + \ln (| \sec (θ) |) = C$

Paso 3.2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| r | | \sec (θ) |) = C$

Paso 3.3

Para multiplicar valores absolutos, multiplica los términos dentro de cada valor absoluto.

$\ln (| r \sec (θ) |) = C$

Paso 3.4

Para resolver $r$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (| r \sec (θ) |)} = e^{C}$

Paso 3.5

Reescribe $\ln (| r \sec (θ) |) = C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | r \sec (θ) |$

Paso 3.6

Resuelve $r$

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Paso 3.6.1

Reescribe la ecuación como $| r \sec (θ) | = e^{C}$ .

$| r \sec (θ) | = e^{C}$

Paso 3.6.2

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$r \sec (θ) = \pm e^{C}$

Paso 3.6.3

Divide cada término en $r \sec (θ) = \pm e^{C}$ por $\sec (θ)$ y simplifica.

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Paso 3.6.3.1

Divide cada término en $r \sec (θ) = \pm e^{C}$ por $\sec (θ)$ .

$\frac{r \sec (θ)}{\sec (θ)} = \frac{\pm e^{C}}{\sec (θ)}$

Paso 3.6.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.6.3.2.1

Cancela el factor común de $\sec (θ)$ .

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Paso 3.6.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{r \sec (θ)}{\sec (θ)} = \frac{\pm e^{C}}{\sec (θ)}$

Paso 3.6.3.2.1.2

Divide $r$ por $1$ .

$r = \frac{\pm e^{C}}{\sec (θ)}$

Paso 3.6.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.6.3.3.1

Separa las fracciones.

$r = \frac{\pm e^{C}}{1} \cdot \frac{1}{\sec (θ)}$

Paso 3.6.3.3.2

Reescribe $\sec (θ)$ en términos de senos y cosenos.

$r = \frac{\pm e^{C}}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (θ)}}$

Paso 3.6.3.3.3

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{\cos (θ)}$ .

$r = \frac{\pm e^{C}}{1} (1 \cos (θ))$

Paso 3.6.3.3.4

Multiplica $\cos (θ)$ por $1$ .

$r = \frac{\pm e^{C}}{1} \cos (θ)$

Paso 3.6.3.3.5

Divide $\pm e^{C}$ por $1$ .

$r = (\pm e^{C}) \cos (θ)$

Paso 3.6.3.3.6

Reordena los factores en $(\pm e^{C}) \cos (θ)$ .

$r = \cos (θ) (\pm e^{C})$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$r = \cos (θ) C$

Paso 5

Usa la condición inicial para obtener el valor de $C$ mediante la sustitución de $π$ por $θ$ y de $2$ por $r$ en $r = \cos (θ) C$ .

$2 = \cos (π) C$

Paso 6

Resuelve $C$

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Paso 6.1

Reescribe la ecuación como $\cos (π) C = 2$ .

$\cos (π) C = 2$

Paso 6.2

Divide cada término en $\cos (π) C = 2$ por $\cos (π)$ y simplifica.

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Paso 6.2.1

Divide cada término en $\cos (π) C = 2$ por $\cos (π)$ .

$\frac{\cos (π) C}{\cos (π)} = \frac{2}{\cos (π)}$

Paso 6.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.2.1

Cancela el factor común de $\cos (π)$ .

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Paso 6.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\cos (π) C}{\cos (π)} = \frac{2}{\cos (π)}$

Paso 6.2.2.1.2

Divide $C$ por $1$ .

$C = \frac{2}{\cos (π)}$

Paso 6.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.3.1

Separa las fracciones.

$C = \frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\cos (π)}$

Paso 6.2.3.2

Convierte de $\frac{1}{\cos (π)}$ a $\sec (π)$ .

$C = \frac{2}{1} \sec (π)$

Paso 6.2.3.3

Divide $2$ por $1$ .

$C = 2 \sec (π)$

Paso 6.2.3.4

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque la secante es negativa en el segundo cuadrante.

$C = 2 (- \sec (0))$

Paso 6.2.3.5

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$C = 2 (- 1 \cdot 1)$

Paso 6.2.3.6

Multiplica $2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Paso 6.2.3.6.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$C = 2 \cdot - 1$

Paso 6.2.3.6.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$C = - 2$

Paso 7

Sustituye $- 2$ por $C$ en $r = \cos (θ) C$ y simplifica.

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Paso 7.1

Sustituye $- 2$ por $C$ .

$r = \cos (θ) \cdot - 2$

Paso 7.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $\cos (θ)$ .

$r = - 2 \cos (θ)$