Cálculo Ejemplos

$2 x d y + 3 y d x = 0$

Paso 1

Resta $3 y d x$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x d y = - 3 y d x$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} (2 x) d y = \frac{1}{x y} (- 3 y) d x$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 \frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 3 y) d x$

Paso 3.2

Combina $2$ y $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{2}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 3 y) d x$

Paso 3.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.3.1

Factoriza $x$ de $x y$ .

$\frac{2}{x (y)} x d y = \frac{1}{x y} (- 3 y) d x$

Paso 3.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{2}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- 3 y) d x$

Paso 3.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{y} d y = \frac{1}{x y} (- 3 y) d x$

Paso 3.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2}{y} d y = - 3 \frac{1}{x y} y d x$

Paso 3.5

Combina $- 3$ y $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{2}{y} d y = \frac{- 3}{x y} y d x$

Paso 3.6

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 3.6.1

Factoriza $y$ de $x y$ .

$\frac{2}{y} d y = \frac{- 3}{y x} y d x$

Paso 3.6.2

Cancela el factor común.

$\frac{2}{y} d y = \frac{- 3}{y x} y d x$

Paso 3.6.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{y} d y = \frac{- 3}{x} d x$

Paso 3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{2}{y} d y = - \frac{3}{x} d x$

Paso 4

Integra ambos lados.

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Paso 4.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{2}{y} d y = \int - \frac{3}{x} d x$

Paso 4.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $y$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{3}{x} d x$

Paso 4.2.2

La integral de $\frac{1}{y}$ con respecto a $y$ es $\ln (| y |)$ .

$2 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{3}{x} d x$

Paso 4.2.3

Simplifica.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

Paso 4.3

Integra el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{3}{x} d x$

Paso 4.3.2

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = - (3 \int \frac{1}{x} d x)$

Paso 4.3.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$2 \ln (| y |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{x} d x$

Paso 4.3.4

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$2 \ln (| y |) + C_{1} = - 3 (\ln (| x |) + C_{2})$

Paso 4.3.5

Simplifica.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = - 3 \ln (| x |) + C_{2}$

Paso 4.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$2 \ln (| y |) = - 3 \ln (| x |) + C$

Paso 5

Resuelve $y$

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$2 \ln (| y |) + 3 \ln (| x |) = C$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Simplifica $2 \ln (| y |) + 3 \ln (| x |)$ .

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Paso 5.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1.1

Simplifica $2 \ln (| y |)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$\ln ({| y |}^{2}) + 3 \ln (| x |) = C$

Paso 5.2.1.1.2

Elimina el valor absoluto en ${| y |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$\ln (y^{2}) + 3 \ln (| x |) = C$

Paso 5.2.1.1.3

Simplifica $3 \ln (| x |)$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$\ln (y^{2}) + \ln ({| x |}^{3}) = C$

Paso 5.2.1.2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (y^{2} {| x |}^{3}) = C$

Paso 5.3

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (y^{2} {| x |}^{3})} = e^{C}$

Paso 5.4

Reescribe $\ln (y^{2} {| x |}^{3}) = C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = y^{2} {| x |}^{3}$

Paso 5.5

Resuelve $y$

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Paso 5.5.1

Reescribe la ecuación como $y^{2} {| x |}^{3} = e^{C}$ .

$y^{2} {| x |}^{3} = e^{C}$

Paso 5.5.2

Divide cada término en $y^{2} {| x |}^{3} = e^{C}$ por ${| x |}^{3}$ y simplifica.

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Paso 5.5.2.1

Divide cada término en $y^{2} {| x |}^{3} = e^{C}$ por ${| x |}^{3}$ .

$\frac{y^{2} {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}} = \frac{e^{C}}{{| x |}^{3}}$

Paso 5.5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.2.2.1

Cancela el factor común de ${| x |}^{3}$ .

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Paso 5.5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y^{2} {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}} = \frac{e^{C}}{{| x |}^{3}}$

Paso 5.5.2.2.1.2

Divide $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{e^{C}}{{| x |}^{3}}$

Paso 5.5.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{\frac{e^{C}}{{| x |}^{3}}}$

Paso 5.5.4

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{e^{C}}{{| x |}^{3}}}$ .

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Paso 5.5.4.1

Reescribe $\frac{e^{C}}{{| x |}^{3}}$ como ${(\frac{1}{| x |})}^{2} \frac{e^{C}}{| x |}$ .

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Paso 5.5.4.1.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $e^{C}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} e^{C}}{{| x |}^{3}}}$

Paso 5.5.4.1.2

Factoriza la potencia perfecta ${| x |}^{2}$ de ${| x |}^{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} e^{C}}{{| x |}^{2} | x |}}$

Paso 5.5.4.1.3

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} e^{C}}{{| x |}^{2} | x |}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{| x |})}^{2} \frac{e^{C}}{| x |}}$

Paso 5.5.4.2

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \pm \frac{1}{| x |} \sqrt{\frac{e^{C}}{| x |}}$

Paso 5.5.4.3

Reescribe $\sqrt{\frac{e^{C}}{| x |}}$ como $\frac{\sqrt{e^{C}}}{\sqrt{| x |}}$ .

$y = \pm \frac{1}{| x |} \cdot \frac{\sqrt{e^{C}}}{\sqrt{| x |}}$

Paso 5.5.4.4

Combinar.

$y = \pm \frac{1 \sqrt{e^{C}}}{| x | \sqrt{| x |}}$

Paso 5.5.4.5

Multiplica $\sqrt{e^{C}}$ por $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}}}{| x | \sqrt{| x |}}$

Paso 5.5.4.6

Multiplica $\frac{\sqrt{e^{C}}}{| x | \sqrt{| x |}}$ por $\frac{\sqrt{| x |}}{\sqrt{| x |}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}}}{| x | \sqrt{| x |}} \cdot \frac{\sqrt{| x |}}{\sqrt{| x |}}$

Paso 5.5.4.7

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 5.5.4.7.1

Multiplica $\frac{\sqrt{e^{C}}}{| x | \sqrt{| x |}}$ por $\frac{\sqrt{| x |}}{\sqrt{| x |}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | \sqrt{| x |} \sqrt{| x |}}$

Paso 5.5.4.7.2

Mueve $\sqrt{| x |}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | (\sqrt{| x |} \sqrt{| x |})}$

Paso 5.5.4.7.3

Eleva $\sqrt{| x |}$ a la potencia de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | ({\sqrt{| x |}}^{1} \sqrt{| x |})}$

Paso 5.5.4.7.4

Eleva $\sqrt{| x |}$ a la potencia de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | ({\sqrt{| x |}}^{1} {\sqrt{| x |}}^{1})}$

Paso 5.5.4.7.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | {\sqrt{| x |}}^{1 + 1}}$

Paso 5.5.4.7.6

Suma $1$ y $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | {\sqrt{| x |}}^{2}}$

Paso 5.5.4.7.7

Reescribe ${\sqrt{| x |}}^{2}$ como $| x |$ .

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Paso 5.5.4.7.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{| x |}$ como ${| x |}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | {({| x |}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 5.5.4.7.7.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | {| x |}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 5.5.4.7.7.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | {| x |}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.5.4.7.7.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.5.4.7.7.4.1

Cancela el factor común.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | {| x |}^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.5.4.7.7.4.2

Reescribe la expresión.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | {| x |}^{1}}$

Paso 5.5.4.7.7.5

Simplifica.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x | | x |}$

Paso 5.5.4.8

Combina con la regla del producto para radicales.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{| x | | x |}$

Paso 5.5.4.9

Para multiplicar valores absolutos, multiplica los términos dentro de cada valor absoluto.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{| x \cdot x |}$

Paso 5.5.4.10

Simplifica el denominador.

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Paso 5.5.4.10.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{| x^{2} |}$

Paso 5.5.4.10.2

Elimina los términos no negativos del valor absoluto.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{x^{2}}$

Paso 5.5.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 5.5.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.