Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y - y + x - 1}{x^{2} - 4}$

Paso 1

Separa las variables.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Factoriza.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(x y - y) + x - 1}{x^{2} - 4}$

Paso 1.1.1.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x - 1) + 1 (x - 1)}{x^{2} - 4}$

Paso 1.1.2

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x - 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(x - 1) (y + 1)}{x^{2} - 4}$

Paso 1.2

Reagrupa los factores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - 1}{x^{2} - 4} (y + 1)$

Paso 1.3

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y + 1}$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} (\frac{x - 1}{x^{2} - 4} (y + 1))$

Paso 1.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1

Cancela el factor común de $y + 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.1

Factoriza $y + 1$ de $\frac{x - 1}{x^{2} - 4} (y + 1)$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) \frac{x - 1}{x^{2} - 4})$

Paso 1.4.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) \frac{x - 1}{x^{2} - 4})$

Paso 1.4.1.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{x - 1}{x^{2} - 4}$

Paso 1.4.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{x - 1}{x^{2} - 2^{2}}$

Paso 1.4.2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{x - 1}{(x + 2) (x - 2)}$

Paso 1.5

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y + 1} d y = \frac{x - 1}{(x + 2) (x - 2)} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{x - 1}{(x + 2) (x - 2)} d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Sea $u_{1} = y + 1$ . Entonces $d u_{1} = d y$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1

Deja $u_{1} = y + 1$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Paso 2.2.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y + 1$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 2.2.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 2.2.1.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.2.1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x - 1}{(x + 2) (x - 2)} d x$

Paso 2.2.2

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{x - 1}{(x + 2) (x - 2)} d x$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $y + 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{x - 1}{(x + 2) (x - 2)} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.1.1

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{x + 2}$

Paso 2.3.1.1.2

$\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 2}$

Paso 2.3.1.1.3

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $(x + 2) (x - 2)$ .

$\frac{(x - 1) (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Paso 2.3.1.1.4

Cancela el factor común de $x + 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 1) (x + 2) (x - 2)}{(x + 2) (x - 2)} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Paso 2.3.1.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(x - 1) (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Paso 2.3.1.1.5

Cancela el factor común de $x - 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 1) (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Paso 2.3.1.1.5.2

Divide $x - 1$ por $1$ .

$x - 1 = \frac{(A) (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Paso 2.3.1.1.6

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.1.6.1

Cancela el factor común de $x + 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.1.6.1.1

Cancela el factor común.

$x - 1 = \frac{A (x + 2) (x - 2)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Paso 2.3.1.1.6.1.2

Divide $(A) (x - 2)$ por $1$ .

$x - 1 = (A) (x - 2) + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Paso 2.3.1.1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x - 1 = A x + A \cdot - 2 + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Paso 2.3.1.1.6.3

Mueve $- 2$ a la izquierda de $A$ .

$x - 1 = A x - 2 \cdot A + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Paso 2.3.1.1.6.4

Cancela el factor común de $x - 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.1.6.4.1

Cancela el factor común.

$x - 1 = A x - 2 A + \frac{(B) (x + 2) (x - 2)}{x - 2}$

Paso 2.3.1.1.6.4.2

Divide $(B) (x + 2)$ por $1$ .

$x - 1 = A x - 2 A + (B) (x + 2)$

Paso 2.3.1.1.6.5

Aplica la propiedad distributiva.

$x - 1 = A x - 2 A + B x + B \cdot 2$

Paso 2.3.1.1.6.6

Mueve $2$ a la izquierda de $B$ .

$x - 1 = A x - 2 A + B x + 2 B$

Paso 2.3.1.1.7

Mueve $- 2 A$ .

$x - 1 = A x + B x - 2 A + 2 B$

Paso 2.3.1.2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = A + B$

Paso 2.3.1.2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$- 1 = - 2 A + 2 B$

Paso 2.3.1.2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$1 = A + B$

$- 1 = - 2 A + 2 B$

$1 = A + B$

$- 1 = - 2 A + 2 B$

Paso 2.3.1.3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.3.1

Resuelve $A$ en $1 = A + B$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.3.1.1

Reescribe la ecuación como $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$- 1 = - 2 A + 2 B$

Paso 2.3.1.3.1.2

Resta $B$ de ambos lados de la ecuación.

$A = 1 - B$

$- 1 = - 2 A + 2 B$

$A = 1 - B$

$- 1 = - 2 A + 2 B$

Paso 2.3.1.3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $1 - B$ en cada ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $- 1 = - 2 A + 2 B$ por $1 - B$ .

$- 1 = - 2 (1 - B) + 2 B$

$A = 1 - B$

Paso 2.3.1.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.3.2.2.1

Simplifica $- 2 (1 - B) + 2 B$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.3.2.2.1.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.3.2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 1 = - 2 \cdot 1 - 2 (- B) + 2 B$

$A = 1 - B$

Paso 2.3.1.3.2.2.1.1.2

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$- 1 = - 2 - 2 (- B) + 2 B$

$A = 1 - B$

Paso 2.3.1.3.2.2.1.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$- 1 = - 2 + 2 B + 2 B$

$A = 1 - B$

$- 1 = - 2 + 2 B + 2 B$

$A = 1 - B$

Paso 2.3.1.3.2.2.1.2

Suma $2 B$ y $2 B$ .

$- 1 = - 2 + 4 B$

$A = 1 - B$

$- 1 = - 2 + 4 B$

$A = 1 - B$

$- 1 = - 2 + 4 B$

$A = 1 - B$

$- 1 = - 2 + 4 B$

$A = 1 - B$

Paso 2.3.1.3.3

Resuelve $B$ en $- 1 = - 2 + 4 B$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.3.3.1

Reescribe la ecuación como $- 2 + 4 B = - 1$ .

$- 2 + 4 B = - 1$

$A = 1 - B$

Paso 2.3.1.3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $B$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.3.3.2.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$4 B = - 1 + 2$

$A = 1 - B$

Paso 2.3.1.3.3.2.2

Suma $- 1$ y $2$ .

$4 B = 1$

$A = 1 - B$

$4 B = 1$

$A = 1 - B$

Paso 2.3.1.3.3.3

Divide cada término en $4 B = 1$ por $4$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.3.3.3.1

Divide cada término en $4 B = 1$ por $4$ .

$\frac{4 B}{4} = \frac{1}{4}$

$A = 1 - B$

Paso 2.3.1.3.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.3.3.3.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.3.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 B}{4} = \frac{1}{4}$

$A = 1 - B$

Paso 2.3.1.3.3.3.2.1.2

Divide $B$ por $1$ .

$B = \frac{1}{4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{4}$

$A = 1 - B$

Paso 2.3.1.3.4

Reemplaza todos los casos de $B$ por $\frac{1}{4}$ en cada ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.3.4.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $A = 1 - B$ por $\frac{1}{4}$ .

$A = 1 - (\frac{1}{4})$

$B = \frac{1}{4}$

Paso 2.3.1.3.4.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.3.4.2.1

Simplifica $1 - (\frac{1}{4})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.3.4.2.1.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$A = \frac{4}{4} - \frac{1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

Paso 2.3.1.3.4.2.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$A = \frac{4 - 1}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

Paso 2.3.1.3.4.2.1.3

Resta $1$ de $4$ .

$A = \frac{3}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = \frac{3}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = \frac{3}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

$A = \frac{3}{4}$

$B = \frac{1}{4}$

Paso 2.3.1.3.5

Enumera todas las soluciones.

$A = \frac{3}{4}, B = \frac{1}{4}$

Paso 2.3.1.4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{x - 2}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{\frac{3}{4}}{x + 2} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 2}$

Paso 2.3.1.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1.5.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{x + 2} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 2}$

Paso 2.3.1.5.2

Multiplica $\frac{3}{4}$ por $\frac{1}{x + 2}$ .

$\frac{3}{4 (x + 2)} + \frac{\frac{1}{4}}{x - 2}$

Paso 2.3.1.5.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{3}{4 (x + 2)} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x - 2}$

Paso 2.3.1.5.4

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{x - 2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{3}{4 (x + 2)} + \frac{1}{4 (x - 2)} d x$

Paso 2.3.2

Divide la única integral en varias integrales.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{3}{4 (x + 2)} d x + \int \frac{1}{4 (x - 2)} d x$

Paso 2.3.3

Dado que $\frac{3}{4}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{3}{4}$ fuera de la integral.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{3}{4} \int \frac{1}{x + 2} d x + \int \frac{1}{4 (x - 2)} d x$

Paso 2.3.4

Sea $u_{2} = x + 2$ . Entonces $d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.4.1

Deja $u_{2} = x + 2$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.4.1.1

Diferencia $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Paso 2.3.4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.3.4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.3.4.1.4

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.3.4.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.3.4.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{3}{4} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} + \int \frac{1}{4 (x - 2)} d x$

Paso 2.3.5

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{3}{4} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \int \frac{1}{4 (x - 2)} d x$

Paso 2.3.6

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{3}{4} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{x - 2} d x$

Paso 2.3.7

Sea $u_{3} = x - 2$ . Entonces $d u_{3} = d x$ . Reescribe mediante $u_{3}$ y $d$ $u_{3}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.7.1

Deja $u_{3} = x - 2$ . Obtén $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.7.1.1

Diferencia $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Paso 2.3.7.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.3.7.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Paso 2.3.7.1.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.3.7.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.3.7.2

Reescribe el problema mediante $u_{3}$ y $d u_{3}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{3}{4} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{4} \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3}$

Paso 2.3.8

La integral de $\frac{1}{u_{3}}$ con respecto a $u_{3}$ es $\ln (| u_{3} |)$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{3}{4} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{4} (\ln (| u_{3} |) + C_{3})$

Paso 2.3.9

Simplifica.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{3}{4} \ln (| u_{2} |) + \frac{1}{4} \ln (| u_{3} |) + C_{4}$

Paso 2.3.10

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.10.1

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x + 2$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{3}{4} \ln (| x + 2 |) + \frac{1}{4} \ln (| u_{3} |) + C_{4}$

Paso 2.3.10.2

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $x - 2$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{3}{4} \ln (| x + 2 |) + \frac{1}{4} \ln (| x - 2 |) + C_{4}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\ln (| y + 1 |) = \frac{3}{4} \ln (| x + 2 |) + \frac{1}{4} \ln (| x - 2 |) + C$

Paso 3

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1.1

Combina $\frac{3}{4}$ y $\ln (| x + 2 |)$ .

$\ln (| y + 1 |) = \frac{3 \ln (| x + 2 |)}{4} + \frac{1}{4} \ln (| x - 2 |) + C$

Paso 3.1.1.2

Combina $\frac{1}{4}$ y $\ln (| x - 2 |)$ .

$\ln (| y + 1 |) = \frac{3 \ln (| x + 2 |)}{4} + \frac{\ln (| x - 2 |)}{4} + C$

Paso 3.2

Multiplica cada término en $\ln (| y + 1 |) = \frac{3 \ln (| x + 2 |)}{4} + \frac{\ln (| x - 2 |)}{4} + C$ por $4$ para eliminar las fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Multiplica cada término en $\ln (| y + 1 |) = \frac{3 \ln (| x + 2 |)}{4} + \frac{\ln (| x - 2 |)}{4} + C$ por $4$ .

$\ln (| y + 1 |) \cdot 4 = \frac{3 \ln (| x + 2 |)}{4} \cdot 4 + \frac{\ln (| x - 2 |)}{4} \cdot 4 + C \cdot 4$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.1

Mueve $4$ a la izquierda de $\ln (| y + 1 |)$ .

$4 \ln (| y + 1 |) = \frac{3 \ln (| x + 2 |)}{4} \cdot 4 + \frac{\ln (| x - 2 |)}{4} \cdot 4 + C \cdot 4$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.3.1.1

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$4 \ln (| y + 1 |) = \frac{3 \ln (| x + 2 |)}{4} \cdot 4 + \frac{\ln (| x - 2 |)}{4} \cdot 4 + C \cdot 4$

Paso 3.2.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$4 \ln (| y + 1 |) = 3 \ln (| x + 2 |) + \frac{\ln (| x - 2 |)}{4} \cdot 4 + C \cdot 4$

Paso 3.2.3.1.2

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$4 \ln (| y + 1 |) = 3 \ln (| x + 2 |) + \frac{\ln (| x - 2 |)}{4} \cdot 4 + C \cdot 4$

Paso 3.2.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$4 \ln (| y + 1 |) = 3 \ln (| x + 2 |) + \ln (| x - 2 |) + C \cdot 4$

Paso 3.2.3.1.3

Mueve $4$ a la izquierda de $C$ .

$4 \ln (| y + 1 |) = 3 \ln (| x + 2 |) + \ln (| x - 2 |) + 4 C$

Paso 3.3

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Simplifica $4 \ln (| y + 1 |)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1.1

Simplifica $4 \ln (| y + 1 |)$ al mover $4$ dentro del algoritmo.

$\ln ({| y + 1 |}^{4}) = 3 \ln (| x + 2 |) + \ln (| x - 2 |) + 4 C$

Paso 3.3.1.2

Elimina el valor absoluto en ${| y + 1 |}^{4}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$\ln ({(y + 1)}^{4}) = 3 \ln (| x + 2 |) + \ln (| x - 2 |) + 4 C$

Paso 3.4

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1

Simplifica $3 \ln (| x + 2 |) + \ln (| x - 2 |) + 4 C$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1.1

Simplifica $3 \ln (| x + 2 |)$ al mover $3$ dentro del algoritmo.

$\ln ({(y + 1)}^{4}) = \ln ({| x + 2 |}^{3}) + \ln (| x - 2 |) + 4 C$

Paso 3.4.1.2

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ({(y + 1)}^{4}) = \ln ({| x + 2 |}^{3} | x - 2 |) + 4 C$

Paso 3.5

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$\ln ({(y + 1)}^{4}) - \ln ({| x + 2 |}^{3} | x - 2 |) = 4 C$

Paso 3.6

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{{(y + 1)}^{4}}{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |}) = 4 C$

Paso 3.7

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (\frac{{(y + 1)}^{4}}{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |})} = e^{4 C}$

Paso 3.8

Reescribe $\ln (\frac{{(y + 1)}^{4}}{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |}) = 4 C$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{4 C} = \frac{{(y + 1)}^{4}}{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |}$

Paso 3.9

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.9.1

Reescribe la ecuación como $\frac{{(y + 1)}^{4}}{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} = e^{4 C}$ .

$\frac{{(y + 1)}^{4}}{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} = e^{4 C}$

Paso 3.9.2

Multiplica ambos lados por ${| x + 2 |}^{3} | x - 2 |$ .

$\frac{{(y + 1)}^{4}}{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} ({| x + 2 |}^{3} | x - 2 |) = e^{4 C} ({| x + 2 |}^{3} | x - 2 |)$

Paso 3.9.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.9.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.9.3.1.1

Cancela el factor común de ${| x + 2 |}^{3} | x - 2 |$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.9.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{{(y + 1)}^{4}}{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} ({| x + 2 |}^{3} | x - 2 |) = e^{4 C} ({| x + 2 |}^{3} | x - 2 |)$

Paso 3.9.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

${(y + 1)}^{4} = e^{4 C} ({| x + 2 |}^{3} | x - 2 |)$

Paso 3.9.3.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.9.3.2.1

Elimina los paréntesis.

${(y + 1)}^{4} = e^{4 C} {| x + 2 |}^{3} | x - 2 |$

Paso 3.9.4

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.9.4.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y + 1 = \pm \sqrt[4]{e^{4 C} {| x + 2 |}^{3} | x - 2 |}$

Paso 3.9.4.2

Simplifica $\pm \sqrt[4]{e^{4 C} {| x + 2 |}^{3} | x - 2 |}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.9.4.2.1

Reescribe $e^{4 C} {| x + 2 |}^{3} | x - 2 |$ como ${(e^{C})}^{4} ({| x + 2 |}^{3} | x - 2 |)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.9.4.2.1.1

Reescribe $e^{4 C}$ como ${(e^{C})}^{4}$ .

$y + 1 = \pm \sqrt[4]{{(e^{C})}^{4} {| x + 2 |}^{3} | x - 2 |}$

Paso 3.9.4.2.1.2

Agrega paréntesis.

$y + 1 = \pm \sqrt[4]{{(e^{C})}^{4} ({| x + 2 |}^{3} | x - 2 |)}$

Paso 3.9.4.2.2

Retira los términos de abajo del radical.

$y + 1 = \pm e^{C} \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |}$

Paso 3.9.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.9.4.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y + 1 = e^{C} \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |}$

Paso 3.9.4.3.2

Reordena los factores en $e^{C} \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |}$ .

$y + 1 = \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C}$

Paso 3.9.4.3.3

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$y = \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

Paso 3.9.4.3.4

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y + 1 = - e^{C} \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |}$

Paso 3.9.4.3.5

Reordena los factores en $- e^{C} \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |}$ .

$y + 1 = - \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C}$

Paso 3.9.4.3.6

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$y = - \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

Paso 3.9.4.3.7

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

$y = - \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

$y = \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

$y = - \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

$y = \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

$y = - \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

$y = \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

$y = - \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

$y = \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

$y = - \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} e^{C} - 1$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} C - 1$

$y = - \sqrt[4]{{| x + 2 |}^{3} | x - 2 |} C - 1$