Cálculo Ejemplos

$(e^{2 x} y^{2} - 2 x) d x + e^{2 x} (y d) y = 0$

Paso 1

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = e^{2 x} y^{2} - 2 x$ .

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Paso 1.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{2 x} y^{2} - 2 x]$

Paso 1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $e^{2 x} y^{2} - 2 x$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d y} [e^{2 x} y^{2}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $e^{2 x}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $e^{2 x} y^{2}$ con respecto a $y$ es $e^{2 x} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{2 x} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{2 x} (2 y) + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Paso 1.3.3

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{2 x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} y + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Paso 1.4

Como $- 2 x$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} y + 0$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Suma $2 e^{2 x} y$ y $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} y$

Paso 1.5.2

Reordena los factores en $2 e^{2 x} y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y e^{2 x}$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = e^{2 x} y$ .

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Paso 2.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{2 x} y]$

Paso 2.2

Como $y$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $e^{2 x} y$ con respecto a $x$ es $y \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 2.4

Diferencia.

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Paso 2.4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y e^{2 x} (2 \cdot 1)$

Paso 2.4.3

Simplifica la expresión.

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Paso 2.4.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y e^{2 x} \cdot 2$

Paso 2.4.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $y e^{2 x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \cdot (y e^{2 x})$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Reordena los factores de $2 y e^{2 x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 e^{2 x} y$

Paso 2.5.2

Reordena los factores en $2 e^{2 x} y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y e^{2 x}$

Paso 3

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 3.1

Sustituye $2 y e^{2 x}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $2 y e^{2 x}$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 y e^{2 x} = 2 y e^{2 x}$

Paso 3.2

Debido a que se ha demostrado que los dos lados son equivalentes, la ecuación es una identidad.

$2 y e^{2 x} = 2 y e^{2 x}$ es una identidad.

Paso 4

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{2 x} y d y$

Paso 5

Integra $N (x, y) = e^{2 x} y$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 5.1

Dado que $e^{2 x}$ es constante con respecto a $y$ , mueve $e^{2 x}$ fuera de la integral.

$f (x, y) = e^{2 x} \int y d y$

Paso 5.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = e^{2 x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Paso 5.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.3.1

Reescribe $e^{2 x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ como $e^{2 x} \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = e^{2 x} \frac{1}{2} y^{2} + C$

Paso 5.3.2

Simplifica.

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Paso 5.3.2.1

Combina $e^{2 x}$ y $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x}}{2} y^{2} + C$

Paso 5.3.2.2

Combina $\frac{e^{2 x}}{2}$ y $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} + C$

Paso 5.3.3

Reordena los términos.

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} + C$

Paso 6

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} + g (x)$

Paso 7

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = e^{2 x} y^{2} - 2 x$

Paso 8

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Paso 8.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} + g (x)] = e^{2 x} y^{2} - 2 x$

Paso 8.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2} - 2 x$

Paso 8.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x} y^{2}]$ .

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Paso 8.3.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{2 x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x}}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2} - 2 x$

Paso 8.3.2

Combina $\frac{e^{2 x}}{2}$ y $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{e^{2 x} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2} - 2 x$

Paso 8.3.3

Como $\frac{y^{2}}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{e^{2 x} y^{2}}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2} - 2 x$

Paso 8.3.4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 8.3.4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$\frac{y^{2}}{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2} - 2 x$

Paso 8.3.4.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{y^{2}}{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2} - 2 x$

Paso 8.3.4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$\frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2} - 2 x$

Paso 8.3.5

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2} - 2 x$

Paso 8.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2} - 2 x$

Paso 8.3.7

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{y^{2}}{2} (e^{2 x} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2} - 2 x$

Paso 8.3.8

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{2 x}$ .

$\frac{y^{2}}{2} (2 \cdot e^{2 x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2} - 2 x$

Paso 8.3.9

Combina $2$ y $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{2 y^{2}}{2} e^{2 x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2} - 2 x$

Paso 8.3.10

Combina $\frac{2 y^{2}}{2}$ y $e^{2 x}$ .

$\frac{2 y^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2} - 2 x$

Paso 8.3.11

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.3.11.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y^{2} e^{2 x}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2} - 2 x$

Paso 8.3.11.2

Divide $y^{2} e^{2 x}$ por $1$ .

$y^{2} e^{2 x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = e^{2 x} y^{2} - 2 x$

Paso 8.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$y^{2} e^{2 x} + \frac{d g}{d x} = e^{2 x} y^{2} - 2 x$

Paso 8.5

Simplifica.

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Paso 8.5.1

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d x} + e^{2 x} y^{2} = e^{2 x} y^{2} - 2 x$

Paso 8.5.2

Reordena los factores en $\frac{d g}{d x} + e^{2 x} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + y^{2} e^{2 x} = e^{2 x} y^{2} - 2 x$

Paso 9

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 9.1

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 9.1.1

Reordena los factores en $e^{2 x} y^{2} - 2 x$ .

$\frac{d g}{d x} + y^{2} e^{2 x} = y^{2} e^{2 x} - 2 x$

Paso 9.1.2

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d g}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.1.2.1

Resta $y^{2} e^{2 x}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} = y^{2} e^{2 x} - 2 x - y^{2} e^{2 x}$

Paso 9.1.2.2

Combina los términos opuestos en $y^{2} e^{2 x} - 2 x - y^{2} e^{2 x}$ .

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Paso 9.1.2.2.1

Resta $y^{2} e^{2 x}$ de $y^{2} e^{2 x}$ .

$\frac{d g}{d x} = - 2 x + 0$

Paso 9.1.2.2.2

Suma $- 2 x$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - 2 x$

Paso 10

Obtén la antiderivada de $- 2 x$ y obtén $g (x)$ .

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Paso 10.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = - 2 x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - 2 x d x$

Paso 10.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - 2 x d x$

Paso 10.3

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$g (x) = - 2 \int x d x$

Paso 10.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Paso 10.5

Simplifica la respuesta.

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Paso 10.5.1

Reescribe $- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$g (x) = - 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Paso 10.5.2

Simplifica.

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Paso 10.5.2.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{- 2}{2} x^{2} + C$

Paso 10.5.2.2

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 10.5.2.2.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$g (x) = \frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C$

Paso 10.5.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.5.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$g (x) = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C$

Paso 10.5.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$g (x) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

Paso 10.5.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$g (x) = \frac{- 1}{1} x^{2} + C$

Paso 10.5.2.2.2.4

Divide $- 1$ por $1$ .

$g (x) = - x^{2} + C$

Paso 11

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} - x^{2} + C$

Paso 12

Simplifica $f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x} y^{2} - x^{2} + C$ .

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Paso 12.1

Simplifica cada término.

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Paso 12.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{2 x}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x}}{2} y^{2} - x^{2} + C$

Paso 12.1.2

Combina $\frac{e^{2 x}}{2}$ y $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} - x^{2} + C$

Paso 12.2

Reordena los factores en $f (x, y) = \frac{e^{2 x} y^{2}}{2} - x^{2} + C$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} e^{2 x}}{2} - x^{2} + C$