Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = 6 y^{2} x$ , $y (1) = \frac{1}{25}$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (6 y^{2} x)$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{1}{y^{2}} (y^{2} x)$

Paso 1.2.2

Combina $6$ y $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y^{2}} (y^{2} x)$

Paso 1.2.3

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 1.2.3.1

Factoriza $y^{2}$ de $y^{2} x$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y^{2}} (y^{2} (x))$

Paso 1.2.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y^{2}} (y^{2} x)$

Paso 1.2.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 6 x$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y^{2}} d y = 6 x d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int 6 x d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.2.1.1

Mueve $y^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int 6 x d x$

Paso 2.2.1.2

Multiplica los exponentes en ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int 6 x d x$

Paso 2.2.1.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int 6 x d x$

Paso 2.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{- 2}$ con respecto a $y$ es $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int 6 x d x$

Paso 2.2.3

Reescribe $- y^{- 1} + C_{1}$ como $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 6 x d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 6 \int x d x$

Paso 2.3.2

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Paso 2.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.3.3.1

Reescribe $6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ como $6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.3.2.1

Combina $6$ y $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{6}{2} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2

Cancela el factor común de $6$ y $2$ .

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Paso 2.3.3.2.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.3.3.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{3}{1} x^{2} + C_{2}$

Paso 2.3.3.2.2.2.4

Divide $3$ por $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 3 x^{2} + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$- \frac{1}{y} = 3 x^{2} + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$y, 1, 1$

Paso 3.1.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$y$

Paso 3.2

Multiplica cada término en $- \frac{1}{y} = 3 x^{2} + K$ por $y$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.2.1

Multiplica cada término en $- \frac{1}{y} = 3 x^{2} + K$ por $y$ .

$- \frac{1}{y} y = 3 x^{2} y + K y$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{y}$ al numerador.

$\frac{- 1}{y} y = 3 x^{2} y + K y$

Paso 3.2.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{y} y = 3 x^{2} y + K y$

Paso 3.2.2.1.3

Reescribe la expresión.

$- 1 = 3 x^{2} y + K y$

Paso 3.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $3 x^{2} y + K y = - 1$ .

$3 x^{2} y + K y = - 1$

Paso 3.3.2

Factoriza $y$ de $3 x^{2} y + K y$ .

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Paso 3.3.2.1

Factoriza $y$ de $3 x^{2} y$ .

$y (3 x^{2}) + K y = - 1$

Paso 3.3.2.2

Factoriza $y$ de $K y$ .

$y (3 x^{2}) + y K = - 1$

Paso 3.3.2.3

Factoriza $y$ de $y (3 x^{2}) + y K$ .

$y (3 x^{2} + K) = - 1$

Paso 3.3.3

Divide cada término en $y (3 x^{2} + K) = - 1$ por $3 x^{2} + K$ y simplifica.

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Paso 3.3.3.1

Divide cada término en $y (3 x^{2} + K) = - 1$ por $3 x^{2} + K$ .

$\frac{y (3 x^{2} + K)}{3 x^{2} + K} = \frac{- 1}{3 x^{2} + K}$

Paso 3.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.3.2.1

Cancela el factor común de $3 x^{2} + K$ .

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Paso 3.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (3 x^{2} + K)}{3 x^{2} + K} = \frac{- 1}{3 x^{2} + K}$

Paso 3.3.3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 1}{3 x^{2} + K}$

Paso 3.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{1}{3 x^{2} + K}$

Paso 4

Usa la condición inicial para obtener el valor de $K$ mediante la sustitución de $1$ por $x$ y de $\frac{1}{25}$ por $y$ en $y = - \frac{1}{3 x^{2} + K}$ .

$\frac{1}{25} = - \frac{1}{3 \cdot 1^{2} + K}$

Paso 5

Resuelve $K$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $- \frac{1}{3 \cdot 1^{2} + K} = \frac{1}{25}$ .

$- \frac{1}{3 \cdot 1^{2} + K} = \frac{1}{25}$

Paso 5.2

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- \frac{1}{3 \cdot 1 + K} = \frac{1}{25}$

Paso 5.2.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$- \frac{1}{3 + K} = \frac{1}{25}$

Paso 5.3

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 5.3.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$3 + K, 25$

Paso 5.3.2

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 5.3.3

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 5.3.4

$25$ tiene factores de $5$ y $5$ .

$5 \cdot 5$

Paso 5.3.5

Multiplica $5$ por $5$ .

$25$

Paso 5.3.6

El factor para $3 + K$ es $3 + K$ en sí mismo.

$(3 + K) = 3 + K$

$(3 + K)$ ocurre $1$ vez.

Paso 5.3.7

El MCM de $3 + K$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$3 + K$

Paso 5.3.8

El mínimo común múltiplo $LCM$ de algunos números es el número más pequeño del que los números son factores.

$25 (3 + K)$

Paso 5.4

Multiplica cada término en $- \frac{1}{3 + K} = \frac{1}{25}$ por $25 (3 + K)$ para eliminar las fracciones.

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Paso 5.4.1

Multiplica cada término en $- \frac{1}{3 + K} = \frac{1}{25}$ por $25 (3 + K)$ .

$- \frac{1}{3 + K} (25 (3 + K)) = \frac{1}{25} (25 (3 + K))$

Paso 5.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.4.2.1

Cancela el factor común de $3 + K$ .

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Paso 5.4.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{3 + K}$ al numerador.

$\frac{- 1}{3 + K} (25 (3 + K)) = \frac{1}{25} (25 (3 + K))$

Paso 5.4.2.1.2

Factoriza $3 + K$ de $25 (3 + K)$ .

$\frac{- 1}{3 + K} ((3 + K) \cdot 25) = \frac{1}{25} (25 (3 + K))$

Paso 5.4.2.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{3 + K} ((3 + K) \cdot 25) = \frac{1}{25} (25 (3 + K))$

Paso 5.4.2.1.4

Reescribe la expresión.

$- 1 \cdot 25 = \frac{1}{25} (25 (3 + K))$

Paso 5.4.2.2

Multiplica $- 1$ por $25$ .

$- 25 = \frac{1}{25} (25 (3 + K))$

Paso 5.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.4.3.1

Cancela el factor común de $25$ .

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Paso 5.4.3.1.1

Cancela el factor común.

$- 25 = \frac{1}{25} (25 (3 + K))$

Paso 5.4.3.1.2

Reescribe la expresión.

$- 25 = 3 + K$

Paso 5.5

Resuelve la ecuación.

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Paso 5.5.1

Reescribe la ecuación como $3 + K = - 25$ .

$3 + K = - 25$

Paso 5.5.2

Mueve todos los términos que no contengan $K$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.5.2.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$K = - 25 - 3$

Paso 5.5.2.2

Resta $3$ de $- 25$ .

$K = - 28$

Paso 6

Sustituye $- 28$ por $K$ en $y = - \frac{1}{3 x^{2} + K}$ y simplifica.

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Paso 6.1

Sustituye $- 28$ por $K$ .

$y = - \frac{1}{3 x^{2} - 28}$