Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{x - 6}$ and $y (7) = - 2$ ?

Paso 1

Reescribe la ecuación.

$d y = \frac{4}{x - 6} d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int d y = \int \frac{4}{x - 6} d x$

Paso 2.2

Aplica la regla de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{4}{x - 6} d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $4$ es constante con respecto a $x$ , mueve $4$ fuera de la integral.

$y + C_{1} = 4 \int \frac{1}{x - 6} d x$

Paso 2.3.2

Sea $u = x - 6$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.3.2.1

Deja $u = x - 6$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Diferencia $x - 6$ .

$\frac{d}{d x} [x - 6]$

Paso 2.3.2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 2.3.2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 2.3.2.1.4

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.3.2.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.3.2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$y + C_{1} = 4 \int \frac{1}{u} d u$

Paso 2.3.3

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = 4 (\ln (| u |) + C_{2})$

Paso 2.3.4

Simplifica.

$y + C_{1} = 4 \ln (| u |) + C_{2}$

Paso 2.3.5

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 6$ .

$y + C_{1} = 4 \ln (| x - 6 |) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$y = 4 \ln (| x - 6 |) + C$

Paso 3

Usa la condición inicial para obtener el valor de $C$ mediante la sustitución de $7$ por $x$ y de $- 2$ por $y$ en $y = 4 \ln (| x - 6 |) + C$ .

$- 2 = 4 \ln (| 7 - 6 |) + C$

Paso 4

Resuelve $C$

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Paso 4.1

Reescribe la ecuación como $4 \ln (| 7 - 6 |) + C = - 2$ .

$4 \ln (| 7 - 6 |) + C = - 2$

Paso 4.2

Simplifica $4 \ln (| 7 - 6 |) + C$ .

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Resta $6$ de $7$ .

$4 \ln (| 1 |) + C = - 2$

Paso 4.2.1.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$4 \ln (1) + C = - 2$

Paso 4.2.1.3

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$4 \cdot 0 + C = - 2$

Paso 4.2.1.4

Multiplica $4$ por $0$ .

$0 + C = - 2$

Paso 4.2.2

Suma $0$ y $C$ .

$C = - 2$

Paso 5

Sustituye $- 2$ por $C$ en $y = 4 \ln (| x - 6 |) + C$ y simplifica.

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Paso 5.1

Sustituye $- 2$ por $C$ .

$y = 4 \ln (| x - 6 |) - 2$

Paso 5.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1

Simplifica $4 \ln (| x - 6 |)$ al mover $4$ dentro del algoritmo.

$y = \ln ({| x - 6 |}^{4}) - 2$

Paso 5.2.2

Elimina el valor absoluto en ${| x - 6 |}^{4}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$y = \ln ({(x - 6)}^{4}) - 2$