Cálculo Ejemplos

$y^{2} d y - (x^{2} + \frac{y^{3}}{x}) d x = 0$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial para que se ajuste a la técnica de ecuación diferencial exacta.

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Paso 1.1

Reescribe.

$- (x^{2} + \frac{y^{3}}{x}) d x + y^{2} d y = 0$

Paso 2

Obtén $\frac{\partial M}{\partial y}$ donde $M (x, y) = - (x^{2} + \frac{y^{3}}{x})$ .

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Paso 2.1

Diferencia $M$ con respecto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (x^{2} + \frac{y^{3}}{x})]$

Paso 2.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $- (x^{2} + \frac{y^{3}}{x})$ con respecto a $y$ es $- \frac{d}{d y} [x^{2} + \frac{y^{3}}{x}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [x^{2} + \frac{y^{3}}{x}]$

Paso 2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + \frac{y^{3}}{x}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{y^{3}}{x}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{y^{3}}{x}])$

Paso 2.4

Como $x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x^{2}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (0 + \frac{d}{d y} [\frac{y^{3}}{x}])$

Paso 2.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d y} [\frac{y^{3}}{x}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [\frac{y^{3}}{x}]$

Paso 2.6

Como $\frac{1}{x}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $\frac{y^{3}}{x}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y^{3}])$

Paso 2.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{1}{x} (3 y^{2})$

Paso 2.8

Combina fracciones.

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Paso 2.8.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 3 \frac{1}{x} y^{2}$

Paso 2.8.2

Combina $- 3$ y $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{- 3}{x} y^{2}$

Paso 2.8.3

Combina $\frac{- 3}{x}$ y $y^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{- 3 y^{2}}{x}$

Paso 2.8.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{3 y^{2}}{x}$

Paso 3

Obtén $\frac{\partial N}{\partial x}$ donde $N (x, y) = y^{2}$ .

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Paso 3.1

Diferencia $N$ con respecto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Paso 3.2

Como $y^{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $y^{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Paso 4

Comprueba que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Paso 4.1

Sustituye $- \frac{3 y^{2}}{x}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ y $0$ para $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- \frac{3 y^{2}}{x} = 0$

Paso 4.2

Como el lado izquierdo no es igual al lado derecho, la ecuación no es una identidad.

$- \frac{3 y^{2}}{x} = 0$ no es una identidad.

Paso 5

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Paso 5.1

Sustituye $- \frac{3 y^{2}}{x}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- \frac{3 y^{2}}{x} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Paso 5.2

Sustituye $0$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- \frac{3 y^{2}}{x} + 0}{N}$

Paso 5.3

Sustituye $y^{2}$ por $N$ .

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Paso 5.3.1

Sustituye $y^{2}$ por $N$ .

$\frac{- \frac{3 y^{2}}{x} + 0}{y^{2}}$

Paso 5.3.2

Suma $- \frac{3 y^{2}}{x}$ y $0$ .

$\frac{- \frac{3 y^{2}}{x}}{y^{2}}$

Paso 5.3.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- \frac{3 y^{2}}{x} \cdot \frac{1}{y^{2}}$

Paso 5.3.4

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 5.3.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{3 y^{2}}{x}$ al numerador.

$\frac{- 3 y^{2}}{x} \cdot \frac{1}{y^{2}}$

Paso 5.3.4.2

Factoriza $y^{2}$ de $- 3 y^{2}$ .

$\frac{y^{2} \cdot - 3}{x} \cdot \frac{1}{y^{2}}$

Paso 5.3.4.3

Cancela el factor común.

$\frac{y^{2} \cdot - 3}{x} \cdot \frac{1}{y^{2}}$

Paso 5.3.4.4

Reescribe la expresión.

$\frac{- 3}{x}$

Paso 5.3.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3}{x}$

Paso 5.4

Obtén el factor integrador $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{x} d x}$

Paso 6

Evalúa la integral $e^{\int - \frac{3}{x} d x}$ .

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Paso 6.1

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{x} d x}$

Paso 6.2

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{x} d x)}$

Paso 6.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{x} d x}$

Paso 6.4

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| x |) + C)}$

Paso 6.5

Simplifica.

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| x |)} + C$

Paso 6.6

Simplifica cada término.

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Paso 6.6.1

Simplifica $- 3 \ln (| x |)$ al mover $- 3$ dentro del algoritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 3})} + C$

Paso 6.6.2

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 3} + C$

Paso 6.6.3

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{3}} + C$

Paso 7

Multiplica ambos lados de $- (x^{2} + \frac{y^{3}}{x}) d x + y^{2} d y = 0$ por el factor integrador $\frac{1}{x^{3}}$ .

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Paso 7.1

Multiplica $- (x^{2} + \frac{y^{3}}{x})$ por $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- (x^{2} + \frac{y^{3}}{x}) \frac{1}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Paso 7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(- x^{2} - \frac{y^{3}}{x}) \frac{1}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Paso 7.3

Multiplica $- x^{2} - \frac{y^{3}}{x}$ por $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- x^{2} - \frac{y^{3}}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Paso 7.4

Simplifica el numerador.

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Paso 7.4.1

Para escribir $- x^{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{- x^{2} \cdot \frac{x}{x} - \frac{y^{3}}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Paso 7.4.2

Combina $- x^{2}$ y $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{- x^{2} x}{x} - \frac{y^{3}}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Paso 7.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{- x^{2} x - y^{3}}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Paso 7.4.4

Simplifica el numerador.

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Paso 7.4.4.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{- (x^{1} x^{2}) - y^{3}}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Paso 7.4.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{- x^{1 + 2} - y^{3}}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Paso 7.4.4.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{\frac{- x^{3} - y^{3}}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Paso 7.4.4.4

Reescribe $- x^{3}$ como ${(- x)}^{3}$ .

$\frac{\frac{{(- x)}^{3} - y^{3}}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Paso 7.4.4.5

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = - x$ y $b = y$ .

$\frac{\frac{(- x - y) ({(- x)}^{2} - x y + y^{2})}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Paso 7.4.4.6

Simplifica.

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Paso 7.4.4.6.1

Aplica la regla del producto a $- x$ .

$\frac{\frac{(- x - y) ({(- 1)}^{2} x^{2} - x y + y^{2})}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Paso 7.4.4.6.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\frac{\frac{(- x - y) (1 x^{2} - x y + y^{2})}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Paso 7.4.4.6.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{\frac{(- x - y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x}}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Paso 7.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{(- x - y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x} \cdot \frac{1}{x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Paso 7.6

Combinar.

$\frac{(- x - y) (x^{2} - x y + y^{2}) \cdot 1}{x \cdot x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Paso 7.7

Multiplica $x$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.7.1

Multiplica $x$ por $x^{3}$ .

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Paso 7.7.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(- x - y) (x^{2} - x y + y^{2}) \cdot 1}{x^{1} x^{3}} d x + y^{2} d y = 0$

Paso 7.7.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{(- x - y) (x^{2} - x y + y^{2}) \cdot 1}{x^{1 + 3}} d x + y^{2} d y = 0$

Paso 7.7.2

Suma $1$ y $3$ .

$\frac{(- x - y) (x^{2} - x y + y^{2}) \cdot 1}{x^{4}} d x + y^{2} d y = 0$

Paso 7.8

Multiplica $(- x - y) (x^{2} - x y + y^{2})$ por $1$ .

$\frac{(- x - y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} d x + y^{2} d y = 0$

Paso 7.9

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{(- (x) - y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} d x + y^{2} d y = 0$

Paso 7.10

Factoriza $- 1$ de $- y$ .

$\frac{(- (x) - (y)) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} d x + y^{2} d y = 0$

Paso 7.11

Factoriza $- 1$ de $- (x) - (y)$ .

$\frac{- (x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} d x + y^{2} d y = 0$

Paso 7.12

Reescribe $- (x + y)$ como $- 1 (x + y)$ .

$\frac{- 1 (x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} d x + y^{2} d y = 0$

Paso 7.13

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} d x + y^{2} d y = 0$

Paso 7.14

Multiplica $y^{2}$ por $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} d x + y^{2} \frac{1}{x^{3}} d y = 0$

Paso 7.15

Combina $y^{2}$ y $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} d x + \frac{y^{2}}{x^{3}} d y = 0$

Paso 8

Establece $f (x, y)$ igual a la integral de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{y^{2}}{x^{3}} d y$

Paso 9

Integra $N (x, y) = \frac{y^{2}}{x^{3}}$ para obtener $f (x, y)$ .

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Paso 9.1

Dado que $\frac{1}{x^{3}}$ es constante con respecto a $y$ , mueve $\frac{1}{x^{3}}$ fuera de la integral.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} \int y^{2} d y$

Paso 9.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

Paso 9.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 9.3.1

Reescribe $\frac{1}{x^{3}} (\frac{1}{3} y^{3} + C)$ como $\frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{1}{3} y^{3} + C$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} \cdot \frac{1}{3} y^{3} + C$

Paso 9.3.2

Simplifica.

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Paso 9.3.2.1

Multiplica $\frac{1}{x^{3}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3} \cdot 3} y^{3} + C$

Paso 9.3.2.2

Mueve $3$ a la izquierda de $x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3 \cdot x^{3}} y^{3} + C$

Paso 9.3.2.3

Multiplica $3$ por $x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3 x^{3}} y^{3} + C$

Paso 9.3.2.4

Combina $\frac{1}{3 x^{3}}$ y $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3 x^{3}} + C$

Paso 10

Como la integral de $g (x)$ , contendrá una constante de integración, podemos reemplazar $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3 x^{3}} + g (x)$

Paso 11

Establece $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Paso 12

Obtén $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Paso 12.1

Diferencia $f$ con respecto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{3 x^{3}} + g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Paso 12.2

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{y^{3}}{3 x^{3}} + g (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{3 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{3 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Paso 12.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{3 x^{3}}]$ .

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Paso 12.3.1

Como $\frac{y^{3}}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{y^{3}}{3 x^{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{y^{3}}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$\frac{y^{3}}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Paso 12.3.2

Reescribe $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$\frac{y^{3}}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Paso 12.3.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{3}$ .

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Paso 12.3.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{3}$ .

$\frac{y^{3}}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Paso 12.3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$\frac{y^{3}}{3} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Paso 12.3.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{3}$ .

$\frac{y^{3}}{3} (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Paso 12.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{y^{3}}{3} (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Paso 12.3.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Paso 12.3.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{y^{3}}{3} (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Paso 12.3.5.2

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$\frac{y^{3}}{3} (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Paso 12.3.6

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{y^{3}}{3} (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Paso 12.3.7

Multiplica $x^{- 6}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 12.3.7.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{y^{3}}{3} (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Paso 12.3.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{y^{3}}{3} (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Paso 12.3.7.3

Resta $6$ de $2$ .

$\frac{y^{3}}{3} (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Paso 12.3.8

Combina $- 3$ y $\frac{y^{3}}{3}$ .

$\frac{- 3 y^{3}}{3} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Paso 12.3.9

Combina $\frac{- 3 y^{3}}{3}$ y $x^{- 4}$ .

$\frac{- 3 y^{3} x^{- 4}}{3} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Paso 12.3.10

Mueve $x^{- 4}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 3 y^{3}}{3 x^{4}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Paso 12.3.11

Cancela el factor común de $- 3$ y $3$ .

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Paso 12.3.11.1

Factoriza $3$ de $- 3 y^{3}$ .

$\frac{3 (- y^{3})}{3 x^{4}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Paso 12.3.11.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 12.3.11.2.1

Factoriza $3$ de $3 x^{4}$ .

$\frac{3 (- y^{3})}{3 (x^{4})} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Paso 12.3.11.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 (- y^{3})}{3 x^{4}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Paso 12.3.11.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- y^{3}}{x^{4}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Paso 12.3.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{y^{3}}{x^{4}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Paso 12.4

Diferencia con la regla de la función que establece que la derivada de $g (x)$ es $\frac{d g}{d x}$ .

$- \frac{y^{3}}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Paso 12.5

Reordena los términos.

$\frac{d g}{d x} - \frac{y^{3}}{x^{4}} = - \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$

Paso 13

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 13.1

Resuelve $\frac{d g}{d x}$

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Paso 13.1.1

Mueve todos los términos que contengan las variables al lado izquierdo de la ecuación

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Paso 13.1.1.1

Suma $\frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} - \frac{y^{3}}{x^{4}} + \frac{(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} = 0$

Paso 13.1.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + (x + y) (x^{2} - x y + y^{2})}{x^{4}} = 0$

Paso 13.1.1.3

Simplifica cada término.

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Paso 13.1.1.3.1

Expande $(x + y) (x^{2} - x y + y^{2})$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x \cdot x^{2} + x (- x y) + x y^{2} + y x^{2} + y (- x y) + y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Paso 13.1.1.3.2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.1.3.2.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.1.3.2.1.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.1.3.2.1.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{1} x^{2} + x (- x y) + x y^{2} + y x^{2} + y (- x y) + y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Paso 13.1.1.3.2.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{1 + 2} + x (- x y) + x y^{2} + y x^{2} + y (- x y) + y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Paso 13.1.1.3.2.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} + x (- x y) + x y^{2} + y x^{2} + y (- x y) + y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Paso 13.1.1.3.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} - x (x y) + x y^{2} + y x^{2} + y (- x y) + y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Paso 13.1.1.3.2.3

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 13.1.1.3.2.3.1

Mueve $x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} - (x \cdot x) y + x y^{2} + y x^{2} + y (- x y) + y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Paso 13.1.1.3.2.3.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} - x^{2} y + x y^{2} + y x^{2} + y (- x y) + y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Paso 13.1.1.3.2.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} - x^{2} y + x y^{2} + y x^{2} - y (x y) + y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Paso 13.1.1.3.2.5

Multiplica $y$ por $y$ sumando los exponentes.

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Paso 13.1.1.3.2.5.1

Mueve $y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} - x^{2} y + x y^{2} + y x^{2} - (y \cdot y) x + y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Paso 13.1.1.3.2.5.2

Multiplica $y$ por $y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} - x^{2} y + x y^{2} + y x^{2} - y^{2} x + y \cdot y^{2}}{x^{4}} = 0$

Paso 13.1.1.3.2.6

Multiplica $y$ por $y^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.1.3.2.6.1

Multiplica $y$ por $y^{2}$ .

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Paso 13.1.1.3.2.6.1.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} - x^{2} y + x y^{2} + y x^{2} - y^{2} x + y^{1} y^{2}}{x^{4}} = 0$

Paso 13.1.1.3.2.6.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} - x^{2} y + x y^{2} + y x^{2} - y^{2} x + y^{1 + 2}}{x^{4}} = 0$

Paso 13.1.1.3.2.6.2

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} - x^{2} y + x y^{2} + y x^{2} - y^{2} x + y^{3}}{x^{4}} = 0$

Paso 13.1.1.3.3

Combina los términos opuestos en $x^{3} - x^{2} y + x y^{2} + y x^{2} - y^{2} x + y^{3}$ .

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Paso 13.1.1.3.3.1

Reordena los factores en los términos $- x^{2} y$ y $y x^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} - x^{2} y + x y^{2} + x^{2} y - y^{2} x + y^{3}}{x^{4}} = 0$

Paso 13.1.1.3.3.2

Suma $- x^{2} y$ y $x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} + x y^{2} + 0 - y^{2} x + y^{3}}{x^{4}} = 0$

Paso 13.1.1.3.3.3

Suma $x^{3} + x y^{2}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} + x y^{2} - y^{2} x + y^{3}}{x^{4}} = 0$

Paso 13.1.1.3.3.4

Reordena los factores en los términos $x y^{2}$ y $- y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} + y^{2} x - y^{2} x + y^{3}}{x^{4}} = 0$

Paso 13.1.1.3.3.5

Resta $y^{2} x$ de $y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} + 0 + y^{3}}{x^{4}} = 0$

Paso 13.1.1.3.3.6

Suma $x^{3}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{3} + x^{3} + y^{3}}{x^{4}} = 0$

Paso 13.1.1.4

Combina los términos opuestos en $- y^{3} + x^{3} + y^{3}$ .

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Paso 13.1.1.4.1

Suma $- y^{3}$ y $y^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{3} + 0}{x^{4}} = 0$

Paso 13.1.1.4.2

Suma $x^{3}$ y $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{3}}{x^{4}} = 0$

Paso 13.1.1.5

Cancela el factor común de $x^{3}$ y $x^{4}$ .

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Paso 13.1.1.5.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{3} \cdot 1}{x^{4}} = 0$

Paso 13.1.1.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 13.1.1.5.2.1

Factoriza $x^{3}$ de $x^{4}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{3} \cdot 1}{x^{3} x} = 0$

Paso 13.1.1.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{3} \cdot 1}{x^{3} x} = 0$

Paso 13.1.1.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{d g}{d x} + \frac{1}{x} = 0$

Paso 13.1.2

Resta $\frac{1}{x}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d g}{d x} = - \frac{1}{x}$

Paso 14

Obtén la antiderivada de $- \frac{1}{x}$ y obtén $g (x)$ .

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Paso 14.1

Integra ambos lados de $\frac{d g}{d x} = - \frac{1}{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 14.2

Evalúa $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - \frac{1}{x} d x$

Paso 14.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$g (x) = - \int \frac{1}{x} d x$

Paso 14.4

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$g (x) = - (\ln (| x |) + C)$

Paso 14.5

Simplifica.

$g (x) = - \ln (| x |) + C$

Paso 15

Sustituye por $g (x)$ en $f (x, y) = \frac{y^{3}}{3 x^{3}} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3 x^{3}} - \ln (| x |) + C$