Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} = \frac{x}{y}$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial como una función de $\frac{y}{x}$ .

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Paso 1.1

Resuelve $\frac{d y}{d x}$

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Paso 1.1.1

Resta $\frac{x}{y}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} - \frac{x}{y} = 0$

Paso 1.1.2

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d y}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.1.2.1

Suma $\frac{y}{x}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} - \frac{x}{y} = \frac{y}{x}$

Paso 1.1.2.2

Suma $\frac{x}{y}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x}{y}$

Paso 1.2

Reescribe $\frac{x}{y}$ como ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + {(\frac{y}{x})}^{- 1}$

Paso 2

Sea $V = \frac{y}{x}$ . Sustituye $V$ por $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + V^{- 1}$

Paso 3

Resuelve $V = \frac{y}{x}$ en $y$ .

$y = V x$

Paso 4

Usa la regla del producto para obtener la derivada de $y = V x$ con respecto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Paso 5

Sustituye $x \frac{d V}{d x} + V$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + V^{- 1}$

Paso 6

Resuelve la ecuación diferencial sustituida.

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Paso 6.1

Separa las variables.

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Paso 6.1.1

Resuelve $\frac{d V}{d x}$

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Paso 6.1.1.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{1}{V}$

Paso 6.1.1.2

Mueve todos los términos que no contengan $\frac{d V}{d x}$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.1.1.2.1

Resta $V$ de ambos lados de la ecuación.

$x \frac{d V}{d x} = V + \frac{1}{V} - V$

Paso 6.1.1.2.2

Combina los términos opuestos en $V + \frac{1}{V} - V$ .

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Paso 6.1.1.2.2.1

Resta $V$ de $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} + 0$

Paso 6.1.1.2.2.2

Suma $\frac{1}{V}$ y $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V}$

Paso 6.1.1.3

Divide cada término en $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V}$ por $x$ y simplifica.

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Paso 6.1.1.3.1

Divide cada término en $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V}$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{V}}{x}$

Paso 6.1.1.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.1.1.3.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 6.1.1.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{V}}{x}$

Paso 6.1.1.3.2.1.2

Divide $\frac{d V}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{V}}{x}$

Paso 6.1.1.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.1.1.3.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} \cdot \frac{1}{x}$

Paso 6.1.1.3.3.2

Multiplica $\frac{1}{V}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V x}$

Paso 6.1.2

Reagrupa los factores.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{V} \cdot \frac{1}{x}$

Paso 6.1.3

Multiplica ambos lados por $V$ .

$V \frac{d V}{d x} = V (\frac{1}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Paso 6.1.4

Simplifica.

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Paso 6.1.4.1

Multiplica $\frac{1}{V}$ por $\frac{1}{x}$ .

$V \frac{d V}{d x} = V \frac{1}{V x}$

Paso 6.1.4.2

Cancela el factor común de $V$ .

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Paso 6.1.4.2.1

Factoriza $V$ de $V x$ .

$V \frac{d V}{d x} = V \frac{1}{V (x)}$

Paso 6.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$V \frac{d V}{d x} = V \frac{1}{V x}$

Paso 6.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$V \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Paso 6.1.5

Reescribe la ecuación.

$V d V = \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2

Integra ambos lados.

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Paso 6.2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int V d V = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $V$ con respecto a $V$ es $\frac{1}{2} V^{2}$ .

$\frac{1}{2} V^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Paso 6.2.3

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} V^{2} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Paso 6.2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$\frac{1}{2} V^{2} = \ln (| x |) + C$

Paso 6.3

Resuelve $V$

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Paso 6.3.1

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} V^{2}) = 2 (\ln (| x |) + C)$

Paso 6.3.2

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 6.3.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.3.2.1.1

Simplifica $2 (\frac{1}{2} V^{2})$ .

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Paso 6.3.2.1.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $V^{2}$ .

$2 \frac{V^{2}}{2} = 2 (\ln (| x |) + C)$

Paso 6.3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 6.3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{V^{2}}{2} = 2 (\ln (| x |) + C)$

Paso 6.3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$V^{2} = 2 (\ln (| x |) + C)$

Paso 6.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.2.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$V^{2} = 2 \ln (| x |) + 2 C$

Paso 6.3.3

Simplifica $2 \ln (| x |)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$V^{2} = \ln ({| x |}^{2}) + 2 C$

Paso 6.3.4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$V = \pm \sqrt{\ln ({| x |}^{2}) + 2 C}$

Paso 6.3.5

Elimina el valor absoluto en ${| x |}^{2}$ porque las potenciaciones con potencias pares siempre son positivas.

$V = \pm \sqrt{\ln (x^{2}) + 2 C}$

Paso 6.3.6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 6.3.6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$V = \sqrt{\ln (x^{2}) + 2 C}$

Paso 6.3.6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$V = - \sqrt{\ln (x^{2}) + 2 C}$

Paso 6.3.6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$V = \sqrt{\ln (x^{2}) + 2 C}$

$V = - \sqrt{\ln (x^{2}) + 2 C}$

$V = \sqrt{\ln (x^{2}) + 2 C}$

$V = - \sqrt{\ln (x^{2}) + 2 C}$

$V = \sqrt{\ln (x^{2}) + 2 C}$

$V = - \sqrt{\ln (x^{2}) + 2 C}$

Paso 6.4

Simplifica la constante de integración.

$V = \sqrt{\ln (x^{2}) + C}$

$V = - \sqrt{\ln (x^{2}) + C}$

$V = \sqrt{\ln (x^{2}) + C}$

$V = - \sqrt{\ln (x^{2}) + C}$

Paso 7

Sustituye $\frac{y}{x}$ por $V$ .

$\frac{y}{x} = \sqrt{\ln (x^{2}) + C}, - \sqrt{\ln (x^{2}) + C}$

Paso 8

Resuelve $\frac{y}{x} = \sqrt{\ln (x^{2}) + C}$ en $y$ .

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Paso 8.1

Reescribe.

$\frac{y}{x} = \sqrt{\ln (x^{2}) + C}$

Paso 8.2

Multiplica ambos lados por $x$ .

$\frac{y}{x} x = \sqrt{\ln (x^{2}) + C} x$

Paso 8.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.3.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 8.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y}{x} x = \sqrt{\ln (x^{2}) + C} x$

Paso 8.3.1.2

Reescribe la expresión.

$y = \sqrt{\ln (x^{2}) + C} x$

Paso 9

Resuelve $\frac{y}{x} = - \sqrt{\ln (x^{2}) + C}$ en $y$ .

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Paso 9.1

Reescribe.

$\frac{y}{x} = - \sqrt{\ln (x^{2}) + C}$

Paso 9.2

Multiplica ambos lados por $x$ .

$\frac{y}{x} x = - \sqrt{\ln (x^{2}) + C} x$

Paso 9.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.3.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 9.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y}{x} x = - \sqrt{\ln (x^{2}) + C} x$

Paso 9.3.1.2

Reescribe la expresión.

$y = - \sqrt{\ln (x^{2}) + C} x$

Paso 10

Enumera las soluciones.

$y = \sqrt{\ln (x^{2}) + C} x, y = - \sqrt{\ln (x^{2}) + C} x$